Inhalt - Institut für Mathematik
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International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik<br />
Schreiben wir (2,3,4) T , so ist demzufolge der Spaltenvektor mit den Komponenten 2, 3 und 4<br />
gemeint. (Um Mißverständnisse zu vermeiden, trennen wir gelegentlich die einzelnen Komponenten<br />
eines Zeilenvektors durch ein Komma oder Semikolon.)<br />
Offenbar gilt <strong>für</strong> eine Matrix A = (aij) stets A T = (aji). Unter einer symmetrischen Matrix<br />
verstehen wir eine Matrix A mit A T = A.<br />
Beispiel.<br />
⎛ ⎞<br />
1 2<br />
⎜<br />
A = ⎜ 2 4<br />
⎝<br />
3<br />
7<br />
⎟<br />
⎠<br />
3 7 −5<br />
.<br />
Es können nur quadratische Matrizen symmetrisch sein.<br />
Mit Matrizen können wir nun auf recht einfache Weise rechnen. Zunächst aber halten wir fest,<br />
daß zwei Matrizen A = (aij) und B = (bij) dann und nur dann gleich sind, wenn sie vom selben<br />
Typ sind (also die gleiche Zahl von Zeilen und Spalten besitzen) und sämtliche Elemente gleich<br />
sind: aij = bij <strong>für</strong> alle i = 1,... ,m und j = 1,... ,n.<br />
Unter der Summe oder Differenz zweier Matrizen vom selben Typ verstehen wir jene Matrix,<br />
die entsteht, wenn wir die einzelnen Elemente addieren bzw. subtrahieren.<br />
Beispiel.<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
⎜ 0.2<br />
⎝<br />
−2<br />
5<br />
⎟<br />
⎠<br />
4 −0.8<br />
−<br />
⎛ ⎞<br />
4<br />
⎜ 0.2<br />
⎝<br />
−2<br />
⎟<br />
1 ⎟<br />
⎠<br />
2 −1<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
−3 −4<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 0 4 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 0.2<br />
.<br />
So wie bei der Addition (analog bei der Subtraktion) von Null zu einer anderen Zahl, diese<br />
unverändert bleibt, bleibt eine Matrix A unverändert, wenn zu ihr die Nullmatrix, die nur aus<br />
Nullen besteht, addiert wird.<br />
Wir können eine Matrix auch mit einer Zahl multiplizieren, indem wir jeden Eintrag der Matrix<br />
mit dieser Zahl multiplizieren.<br />
Beispiel.<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
3<br />
2.5 · ⎝<br />
−3 4 7.5 −7.5<br />
⎠ = ⎝<br />
10<br />
⎠ .<br />
−2 0 −1 −5 0 −2.5<br />
Satz. Seien A, B und C beliebige Matrizen vom selben Typ und seien λ und µ zwei beliebige<br />
reelle Zahlen. Dann gelten die folgenden Rechengesetze:<br />
A + B = B + A Kommutativität<br />
(A + B) + C = A + (B + C) Assoziativität<br />
λ · (A + B) = λ · A + λ · B Distributivität<br />
(λ + µ) · A = λ · A + µ · B Distributivität<br />
(A ± B) T = A T ± B T<br />
Wir kommen nun zur Matrixmultiplikation, die wir schon kennen: Wir haben sie bereits im<br />
vorhergehenden Abschnitt angewandt, ohne sie so zu nennen.<br />
c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 13