Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

2 Mathematische Grundlagen
während man die Folge der ungeraden Zahlen
durch
erhält.
(ai) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .)
ai = 2i + 1
• Eine Folge (sn) deren n-tes Glied als die Summe der ersten n + 1 Glieder einer anderen
Folge (ai) gegeben ist, nennt man Reihe. Die ersten Glieder lauten also
Kurz schreibt man oft
s0 = a0,
Beispiel 1 (eine arithmetische Reihe).
ai = i ⇒ sn =
Beispiel 2 (eine geometrische Reihe).
ai = 1
2 i ⇒ sn =
2.1.2 Konvergenz
n
∑
i=0
s1 = s0 + a1 = a0 + a1,
s2 = s1 + a2 = a0 + a1 + a2.
.
sn = a0 + a1 + a2 + . . . + an =
n
∑
i=1
1 1
= 1 +
2i 2
n
∑ ai.
i=0
i = 1 + 2 + 3 + . . . + n = 1
n(n + 1)
2
+ 1
2
2 + 1
1 1
+ . . . + = 1 +
23 2n 2
1 1 1
+ + + . . . +
4 8 2n Von besonderem Interesse sind Folgen, deren Glieder mit immer größer werdendem Index
einem Grenzwert immer näher kommen. Mathematisch präzise fasst man diese Aussage,
indem man definiert, dass eine Folge (ai) gegen den Grenzwert a konvergiert, wenn man zu
jedem beliebigen ɛ > 0 ein N ∈ N angeben kann, so dass gilt
|ai − a| ≤ ɛ für alle i ≥ N .
Wenn man also die Glieder einer konvergenten Folge wie in Abbildung 2.1 nach ihrem Index
geordnet aufzeichnet und eine Umgebung der Größe ɛ um den Grenzwert a vorgegeben ist,
so findet man immer einen Index N, so dass alle (unendlich vielen) Folgenglieder rechts von
diesem N innerhalb der Umgebung liegen. Dieses ɛ ist dabei beliebig, d. h. auch der ärgste
Widersacher darf einem kein ɛ > 0 nennen können, zu dem man kein N angeben könnte.
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