Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

7.2.3 Compton-Streuung
7.2 Das Gedankenexperiment
Um den Impulsübertrag zu berechnen, den das Elektron durch das stoßende Photon erhält,
müssen wir uns die Compton-Streuung ansehen. Dies ist die Streuung von Licht an einem
ruhenden Elektron. Den Rückstoß berechnet man aus der relativistischen Energie- und
Impulserhaltung, die Wellenlängenänderung des Photons ist gegeben durch die Compton-
Wellenlänge λC = h
mec
7.2.4 zurück zum Heisenbergmikroskop
Das Heisenberg-Mikroskop besteht aus einer Linse mit Durchmesser b und Brennweite f . Die
Ortsauflösung haben wir oben schon abgeleitet.
Befindet sich das Elektron im Fokus, wird Licht, das auf das Elektron trifft, in die Linse gestreut.
Wenn wir das Elektron durch die Linse sehen, kennen wir seine Position. Aber die
Kollision mit dem Photon wird dem Elektron Impuls übertragen. Den minimalen Impulsübetrag
erhält man, wenn das Photon auf den rechten äußeren Rand gestreut wird. Für die
Impulse erhält man:
• Gesamtimpuls vorher: P = h
λ
• Gesamtimpuls (in x-Richtung) nachher P = h
λ ′ sin α + mevx .
Den maximalen Impulsübertrag gibt es, wenn das Photon in den linken Rand gestreut wird,
hier gilt für den
• Gesamtimpuls nachher: P = h
λ ′′ sin α + mev ′ x.
Für kleine Winkel können wir die Näherung sin α ≈ α verwenden, und außerdem λ ≈ λ ′ ≈
λ ′′ . Damit erhalten wir für die Impulsunschärfe
∆p ≈ 2 h
λ α.
Kleine Wellenlänge bedeutet große Energie und damit großen Impulsübertrag. Also braucht
man möglichst geringe Wellenlänge, um eine möglichst geringe Störung zu erziehlen, damit
ist aber nur eine geringere Auflösung in der Ortsmessung möglich. Durch die Messung wird
die Kenntnis vorangangener Messungen zerstört.
Man bekommt für das Produkt der Unschärfen ∆x∆p ≈ 2h
Heisenbergs eigene Argumentation: Um eine Ortsmessung mit dem Mikroskop durchzuführen,
muß sich das Elektron so unter dem Mikroskop bewegen, daß der Öffnungswinkel
des vom Elektron gestreuten Strahlenbündels gerade θ ist. Die Ortsunschärfe ist dann gegeben
durch ∆x ∼ λ
sin θ . Es muß mindesten ein Lichtquant gestreut werden, um das Elektron
nachzuweisen, dieses gibt aber dem Elektron einen Rückstoß in der Größenordnung
der Compton-Wellenlänge hν
c . Die Streuung erfolg innerhalb des Strahlenbündels mit dem
Öffnungswinkel θ, d.h. die Impulsunschärfe beträgt ∆p ∼ hν
c sin θ und damit erhalten wir
∆p∆x ∼ h.
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