Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

8 lineare Algebra
Das wichtige Konzept des Skalarprodukts veranlasst uns, die obige Definition des Vektorraums
zu erweitern.
Definition 2 (Vektorraum mit Skalarprodukt). Eine Menge V mit einer Vektoraddition ‘+’,
der Multiplikation mit Elementen aus dem Grundkörper K und einem Skalarprodukt ‘〈· | ·〉’,
die die oben aufgeführten Eigenschaften haben, heißt Vektorraum mit Skalarprodukt über dem
Körper K, wenn gilt
1. α(βu) = (αβ) · u,
2. 1u = u,
3. α(u +v) = αu + αv,
4. (α + β)u = αu + βu.
Dabei sind α, β ∈ K und u,v ∈ V beliebig. Anschaulich mit Vektoren als Pfeilen, kann man
sich die Sinnhaftigkeit dieser Forderungen leicht klarmachen.
8.1.3 Lineare Unabhängigkeit
Ein ganz wichtiges Konzept ist die lineare Unabhängigkeit von Vektoren. Eine Menge aus n
Vektoren v1 bis vn heißt linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren durch eine Linearkombination,
also eine Summe der Form
α1w1 + α2w2 + . . . + αiwi,
der anderen dargestellt werden kann. Umgekehrt heißt die Menge der Vektoren linear unabhängig,
falls keiner der Vektoren durch die anderen als Linearkombination dargestellt werden
kann. Formal ausgedrückt heißt das, dass die Gleichung
α1v1 + α2v2 + . . . + αnvn = 0
für keine andere Kombination von Zahlen α1, . . . , αn ∈ K richtig ist als für
α1 = α2 = . . . = αn = 0.
Beispiel 10. Die drei 2-Tupel aus Beispiel 5 sind linear abhängig, da gilt
8.1.4 Basissysteme
u −v + 3
w = 0.
π
Ein Basissystem ist die kleinstmögliche Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum
vollständig aufspannt. D. h. jeder beliebige Vektor aus dem Vektorraum kann als
Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.
Es existieren verschiedene Basissysteme, die ein und den selben Vektorraum aufspannen. Die
Anzahl der Basisvektoren in einem Basissystem ist für einen Vektorraum festgelegt und heißt
Dimension des Vektorraums.
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