Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

2 Mathematische Grundlagen
Besonders interessant ist es, wenn man ganz spezielle komplexe Zahlen der Form z = ix mit
x ∈ R einsetzt.
e ix =
∞
(ix)
∑
n=0
n
n!
= 1 + ix + (ix)2
2
Jetzt benutzen wir die Eigenschaft i 2 = −1
= 1 + ix − x2
2
+ (ix)3
6
− i x3
6
und sortieren nach Termen mit i und Terme ohne i
=
=
1 − x2
2
∞
n x2n
∑ (−1)
n=0
+ (ix)4
24
x4
+ + . . .
24
+ . . .
x4
+ ∓ . . . + i x −
24 x3
6
+ i
(2n)!
= cos(x) + i sin(x),
∞
∑
n=0
n x2n+1
(−1)
(2n + 1)!
± . . .
wobei wir die Kosinusreihe (2.2) und Sinusreihe (2.3) eingesetzt haben. An dieser Stelle ist ein
Hinweis zum Umsortieren von Termen in unendlichen Reihen angebracht. Damit der Wert
einer Reihe ∑ ∞ i=0 ai durch beliebiges Umsortieren nicht geändert wird, muß gelten, dass die
Reihe absolut konvergiert, das bedeutet, dass auch ∑ ∞ i=0 |ai| einen endlichen Wert besitzt. Für
die Exponentialreihe ist dies der Fall.
2.2.2 Polardarstellung, Satz von DE MOIVRE
Eine weitere, oft benutzte Darstellung der komplexen Zahlen ist die Exponentialdarstellung
oder die Polardarstellung:
z = r · e iϕ = r · (cos ϕ + i sin ϕ)
Dabei ist r = |z| der Betrag der komplexen Zahl und ϕ das Argument oder die Phase. ϕ gibt
den Winkel zwischen der reellen Achse (x-Achse) und dem Vektor der komplexen Zahl in
der komplexen Ebene an. Es gilt
tan ϕ =
Im z
Re z .
Aufgabe 1. Mache dir an einer Skizze klar, dass für den Real- und Imaginärteil der komplexen
Zahl z = x + iy gilt
x = r · cos ϕ und y = r · sin ϕ.
Hinweis: benutze die geometrische Darstellung von Sinus und Cosinus am rechtwinkligen
Dreieck.
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