Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

8.1 Vektorräume
Abbildung 8.2: Darstellung der Addition und insbesondere des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes.
1. Es gilt das Assoziativgesetz
2. Es gilt das Kommutativgesetz
(u +v) + w = u + (v + w).
u +v = v + u.
3. Es existiert ein neutrales Element, der Nullvektor0, so dass für beliebiges u ∈ V gilt
u +0 = u.
4. Zu jedem u ∈ V existiert ein inverses Element (−u), so dass gilt
u + (−u) =0.
Geometrisch bedeutet die Vektoraddition u +v, dass man den zweiten Pfeil (v) mit dem Fuß
an der Spitze des ersten Pfeils (u) ansetzt und dann den Summenpfeil vom Fuß des ersten
Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors zeichnet. Man verdeutlicht sich leicht (siehe z. B.
Abbildung 8.2), dass es dabei unerheblich ist, in welcher Reihenfolge man die Pfeile aneinandersetzt,
und deshalb sowohl Kommutativ- als auch Assoziativgesetz gelten sollten.
Beispiel 6. Für die n-Tupel aus Beispiel 5 definiert man üblicherweise die Vektoraddition,
durch die element-weise Addition der Tupel-Einträge
⎛
v1
vn
⎞
⎛
w1
wn
⎞
⎛
⎜
⎜v2
⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ +
⎜
⎜w2
⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ =
⎜
⎝
v1 + w1
v2 + w2
.
vn + wn
Für K = R entspricht dies genau der geometrischen Interpretation des Hintereinandersetzens
der Pfeile.
⎞
⎟
⎠ .
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