Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

Theorem 2. Die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix H = H † sind reell.
Vertauschen zwei Operatoren A und B, d. h. gilt für jedes ψ, dass
ABψ = BAψ,
8.3 Funktionen als Vektoren
so sagt man, A und B kommutieren. Allgemein definiert man den Kommutator zweier Operatoren
als
[A; B] := AB − BA.
Der Kommutator verschwindet, wenn die Operatoren kommutieren.
Zwei Operatoren besitzen dann und nur dann einen Satz von gemeinsamen Eigenfunktionen,
d. h. es gibt eine Basis {ψn} so dass beide Operatoren diagonal sind, wenn die beiden
Operatoren kommutieren.
8.3 Funktionen als Vektoren
Betrachtet man Funktionen f : K → K; x ↦→ f (x) so bilden diese auch einen Vektorraum.
• Vektoraddition: man kann zwei Funktionen addieren, indem man für jedes x ∈ K die
Werte der beiden Funktionen addiert
h = f + g : h(x) = f (x) + g(x).
• Multiplikation mit Elementen aus K: das Vielfache einer Funktion erhält man, indem
man wiederum punktweise die Werte vervielfacht
k = α f : k(x) = α f (x).
Lineare Operatoren, die auf solche Vektoren wirken können, sind insbesondere Ableitungen.
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