Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

6.3 Die Unschärferelation nach Heisenberg
festlegt, in welcher Beziehung die beiden Größen zueinander stehen. Für elektromagnetische
Felder sind die beiden proportional zueinander ω = c|k|, die Proportionalitätskonstante ist
die Lichtgeschwindigkeit. In der QM werden uns aber etwas kompliziertere Dispersionsrelationen
begegnen. Um obiges Integral auszurechnen, entwickelt man die Funktion ω(k) in
eine Potenzreihe und berücksichtigt nur die ersten beiden Glieder (dies ist eine Vereinfachung,
die aber in den meisten Fällen gerechtfertigt ist). Wenn man das Integral ausrechnet,
ergibt sich die Amplitude des Wellenpakets, die Breite dieser Amplitude (meist definiert als
die Halbwertsbreite) ist abhängig von ∆k, also der Frequenzbreite. Je stärker das Wellenpaket
örtlich lokalisiert wird, d. h. je schmaler die Amplitude ist, desto mehr Frequenzen müssen
hinzugenommen werden. Dies ist eine klassische Form der Unschärferelation zwischen Ort
und Wellenzahlvektor (der in der QM dem Impuls entspricht):
∆x · ∆k ≥ 2π
Eine weitere Unschärferelation tritt zwischen Zeit und Frequenz auf:
∆t · ∆ω ≥ 1
Eine ähnliche Unschärferelation wird uns in der QM als Heisenbergesche Unschärferelationen
wieder begegnen, hier wird daraus mit E = hν = ¯hω und p = ¯hk
∆E · ∆t ≥ ¯h und ∆x i · ∆pi ≥ 2π¯h
6.3 Die Unschärferelation nach Heisenberg
Begriffe wie Ort, Geschwindigkeit und Energie sind aus Experimenten an makroskopischen
Objekten gewonnen worden, sie werden übertragen auf Elektronen, die sich in einigen Experimenten
ähnlich verhalten.
Aber nach BOHR müssen sich alle Fakten der Atomphysik auch im Wellenbild beschreiben
lassen (Komplementaritätsprinzip). Die Ortsungenauigkeit eines Elektrons im Wellenbild
läßt sich dadurch beschreiben, daß nur in diesem Raumbereich die Amplitude merklich
von null verschieden ist (Wellenpaket). Die Geschwindigkeit des Wellenpaketes entspricht
der Geschwindigkeit des Elektrons, allerdings hat ein Wellenpaket keine genau bestimmte
Geschwindigkeit (wegen Dispersion). Die aus der Wellentheorie folgenden Ungleichungen
∆xi∆pi ≥ h
Diese Ungleichungen geben die Grenze an, bis zu denen eine Teilchenbeschreibung sinnvoll
ist. Man kann diese Beziehungen auch aus dem mathematischen Formalismus ableiten, diese
Ableitung gilt dann für beliebige kanonisch konjugierte Variablen und ist für gebundene
Elektronen anwendbar (die Ableitung aus der Wellenmechanik ist nur für freie Elektronen
gültig). Allerdings sind Orts- und Impulsmessungen nur für solche Experimente zu realisieren,
für die das Elektron praktisch als frei angesehen werden kann.
Der gesammte mathematische Formalismus der Quantenmechanik ist um diese Unbestimmtheitsrelation
herum gebaut.
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