Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

12 GREENBERGER-HORNE-ZEILINGER-Aufbau
Das 1989 von GREENBERGER, HORNE und A. ZEILINGER formulierte Gedankenexperiment
offenbart einen klaren Widerspruch zwischen der Quantenmechanik und der Annahme objektiver
Realität. Dabei werden nicht statistische Mittelwerte verglichen, wie es bei der Betrachtung
der BELLschen Ungleichungen war. Bereits das Ergebnis einer einzigen Messung
entscheidet, ob die Natur der Quantenmechanik Recht gibt, oder ob es Elemente der Realität
gibt. Dabei sagen die beiden Theorien deutlich verschiedene Werte voraus (QM: −1 und
Elemente der Realität: +1).
Eine Quelle gibt drei Spin- 1
2-Teilchen, die sich in einem ganz bestimmten, verschränkten Zustand
befinden, ab. An jedem dieser Teilchen kann nun eine Messung der Spin-Komponente
in entweder der x- oder der y-Richtung vorgenommen werden. Diese Observablen werden
beschrieben durch die sechs Operatoren
S 1 x, S 1 y, S 2 x, S 2 y, S 3 x, S 3 y.
Dabei kennzeichnet der obere Index, auf welches Teilchen der Operator wirkt und der untere
bezeichnet die Richtung der Spinmessung. Auf den Zustand des Teilchens 1 wirkt der Operator
S 1 x wie die Spinmatrix Sx aus (9.2) – Zustände der Teilchen 2 oder 3 hingegen lässt er
unberührt.
Wir werden den Zustand des Gesamtsystems aus den drei Teilchen angeben, indem wir ein
Produkt aus den Zuständen jedes einzelnen Teilchens schreiben. Dabei kennzeichnen wir
durch einen Index, für welches Teilchen der jeweilige Zustand gilt. Den Zustand, in dem Teilchen
1 und Teilchen 3 jeweils in dem ¯h
2-Zustand sind und Teilchen 2 in dem − ¯h
2 -Zustand
ist, schreiben wir also als
|+ − +〉 = |+〉 1 |−〉 2 |+〉 3 .
Aus diesen sechs Spinoperatoren können wir die folgenden drei Observablen bilden, die der
Messung des Spins jeweils an einem Teilchen in x- und an den anderen Teilchen in y-Richtung
entsprechen:
A1 = 8
¯h 3 S1 xS 2 yS 3 y, A2 = 8
¯h 3 S1 yS 2 xS 3 y, A3 = 8
¯h 3 S1 yS 2 yS 3 x. (12.1)
Diese drei Operatoren haben die Eigenschaft, dass ihr Quadrat die Identität ergibt
(Ai) 2 = Ai · Ai = 1,
d. h. sie haben nur die Eigenwerte +1 und −1. Außerdem gilt für je zwei der Ai, dass sie
vertauschen, d. h.
Ai · Aj = Aj · Ai oder
Ai; Aj = 0.
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