Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

2 Mathematische Grundlagen
Die reellen Zahlen vervollständigen schließlich den Zahlenstrahl – jeder Punkt auf einer Strecke
teilt diese in einem Verhältnis, das durch eine reelle Zahl gegeben ist. Dennoch gibt es
eine Vielzahl einfacher, algebraischer Gleichungen, die in R keine Lösung besitzen, etwa
(z + 1) 2 = −1.
Um solche Gleichungen lösen zu können, wird das Zahlensystem noch ein letztes Mal erweitert
durch die Einführung der komplexen Zahlen C.
Ähnlich wie in den vorangegangenen Erweiterungsschritten werden einfach die „fehlenden“
Lösungen als neue Zahlen eingeführt. Dazu definieren wir die imaginären Einheit i als Lösung
der Gleichung
z 2 + 1 = 0.
Daraus ergibt sich, dass i die Eigenschaft
i 2 = −1
besitzt. Eine komplexe Zahl z ist nun gegeben durch
z = x + iy.
Dabei bezeichnen wir x ∈ R als Realteil und y ∈ R als Imaginärteil von z ∈ C. Wir sehen
gleich, dass jede reelle Zahl x ∈ R auch eine komplexe Zahl ist, wenn wir sie schreiben als
x = x + i0.
Rechnen können wir mit komplexen Zahlen ganz einfach, indem wir die Rechenregeln für die
reellen Zahlen anwenden und dabei die imaginäre Einheit mitschleppen. Die Summe zweier
komplexer Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 ist einfach
z = z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = x1 + x2 + i(y1 + y2) = x + iy
und hat also Realteil x = x1 + x2 und Imaginärteil y = y1 + y2. Für die Multiplikation müssen
wir verwenden, dass i 2 = −1 ist. Das Produkt
z ′ = z1 · z2 = (x1 + iy1) · (x2 + iy2) =
= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i 2 y1y2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = x ′ + iy ′
hat also Realteil x ′ = x1x2 − y1y2 und Imaginärteil y ′ = x1y2 + x2y1.
Für die Division zweier komplexer Zahlen brauchen wir einen kleinen Trick. Dazu definieren
wir zu z die komplex konjugierte Zahl z als
und den Betrag von z durch
z = x − iy
|z| 2 = z · z = x 2 + y 2 .
Da x 2 + y 2 reell und nicht negativ ist, ist der Betrag von z auch eine nicht-negative, reelle
Zahl. Dabei ist der Betrag nur bei genau einer komplexen Zahl Null, nämlich bei z = 0. Mit
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