Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

2 Mathematische Grundlagen
2.1.3 Reihendarstellung der Exponentialfunktion
Die wahrscheinlich wichtigste Reihe in der Analysis ist die Exponentialreihe, die für beliebiges
x ∈ R definiert wird durch
e x := exp(x) :=
xn .
n!
(2.1)
Dabei ist
∞
∑
n=0
n! := 1 · 2 · 3 · · · n
die Fakultät von n. Diese Definition ergibt natürlich nur Sinn, wenn die Reihe konvergiert, da
man nur dann bis Unendlich aufsummieren kann. Um das zu rechtfertigen, wenden wir das
Quotientenkriterium (Theorem 1) an:
|an+1|
|an|
xn+1 | (n+1)!
= |
| xn
n! | = | xn+1n! xn | = |
(n + 1)!
x
n + 1 |.
wenn wir also eine natürliche Zahl N > 2|x| wählen und nur n ≥ N betrachten, so ist
|an+1|
|an|
x x 1
= | | ≤ | | ≤
n + 1 N 2 .
Damit ist gezeigt, dass die Exponentialreihe für jedes x ∈ R definiert ist.
Zwei weitere wichtige Reihen sind die Kosinus-Reihe
und die Sinus-Reihe
sin(x) :=
cos(x) :=
∞
n x2n
∑ (−1)
n=0
∞
n x2n+1
∑ (−1)
n=0
(2n)!
(2n + 1)!
= 1 − x2
2
= x − x3
6
x4
+ ∓ . . . (2.2)
24
x5
+ ∓ . . . . (2.3)
120
Wir werden später sehen, dass diese beiden Reihen eng mit der komplexen Exponentialfunktion
verknüpft sind.
2.1.4 Bogenmaß
Die durch die Reihen (2.2) und (2.3) definierten Kosinus- und Sinusfunktionen sind tatsächlich
identisch zu denen, die man aus der Geometrie kennt, wenn man für x in obigen Formeln
den Winkel im Bogenmaß einsetzt.
Das Bogenmaß als Maß für einen Winkel ist die Länge des Stückes, das durch den Winkel
am Einheitskreis – also einem Kreis mit Radius eins – abgesteckt wird. Da der Einheitskreis
einen Umfang von 2π hat, erhält man das zu einem Winkel θ in Grad gehörige Bogenmaß xθ
durch
xθ = 2π θ
360◦ .
Die mathematisch positive Richtung ist entgegen des Uhrzeigersinns.
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