Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

2ǫ
{
Wertai
a
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5 10 15 20 25 30 35 40 45
N
2.1 Folgen und Reihen
Indexi
Abbildung 2.1: Die Glieder der konvergenten Folge rechts von N liegen alle innerhalb der
ɛ-Umgebung um den Grenzwert a.
Da man stets nur endlich viele Glieder der Folge sieht, kann man sich leicht täuschen, was
die Konvergenz angeht. Speziell für Reihen gibt es einfache Konvergenzkriterien, mit Hilfe
derer man feststellen kann, ob sie konvergieren oder nicht. Insbesondere ist dies etwa das
Quotientenkriterium, bei dem aufeinanderfolgende Summanden aus der Reihe miteinander
verglichen werden. Es sagt aus, dass eine Reihe konvergiert, wenn das, was bei jedem Index
hinzuaddiert wird, immer mindestens um einen festen Bruchteil q < 1 weniger ist als beim
letzten Schritt.
Theorem 1 (Quotientenkriterium). Wenn für die Reihe
sn =
n
∑ ai
i=0
für alle Indizes n > N alle Quotienten |an+1|
kleiner oder gleich einer feste Zahl q < 1 sind, dann ist
|an|
die Reihe konvergent.
Ein Anwendungsbeispiel ist etwa die geometrische Reihe aus Beispiel 2, bei der bei jedem
Schritt nur die Hälfte des vorhergehenden Schritts hinzuaddiert wird (also q = 1
2 ), wir erhalten:
1
|an+1| | 2 =
|an| n+1 |
| 1
2n 2n
1
= | | = |1 | ≤ q = < 1.
| 2n+1 2 2
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