Gedankenexperimente in der Quantenmechanik

7 Heisenberg-Mikroskop
den Winkel α zum einfallenden Strahl hat. Fällen wir das Lot BC von diesem Bündel auf den
Rand des Spaltes. In dieser Ebene sind die Strahlen nicht mehr in Phase, da sie unterschiedlich
lange Wege zurückgelegt haben. Vollständige Ausslöschung findet statt, wenn zwischen
den beiden Randstrahlen ein Gangunterschied von einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge
besteht (dann gibt es zu jedem Strahl einen „Partnerstrahl“ mit Gangunterschied
λ/2). Diese Richtungen sind durch die Bedingung cos(π/2 − α) = sin(α) = nλ
l gegeben –
wobei l die Breite des Spaltes ist – mit n ∈ N.
In einer Entfernung a vom Spalt hat damit das Beugungsmaximum dann einen Durchmesser
von D ≈ 2a sin α. Der Abstand zweier Beugungsscheiben muß also mindestens s = D/2 sein.
Damit ergibt sich mit Strahlensätzen das Verhältnis dmin/s = f /a, wobei f die Brennweite
der Linse ist und a der Abstand des Objektes zur Linse. Der Winkel α für das erste Beugungsminimum
entspricht dem halben Öffnungswinkel des Strahls. Sammeln wir alles zusammen,
erhalten wir damit (wenn wir unser Objekt in den Fokus setzen)
dmin = Brennweite
· Abstand der Beugungsscheiben = Objektabstand · Öffnungswinkel
Objektabstand
Oder in Formeln ausgedrückt:
dmin ≈ a
α
Wir hatten außerdem weiter oben die Beziehung λ/l = sin α ≈ α als Bedingung für das erste
Beugungsminimum, die wir bis jetzt noch nicht verwendet haben. Dies liefert uns zusammen
dmin ≈ a
l λ.
Ist der Öffnungswinkel α des Strahlenbündels klein gegenüber der Linse, ergibt sich für das
Öffnungverhältnis – hierunter versteht man das Verhältnis zwischen Linsendurchmesser und
Brennweite b/ f – näherungsweise zu
Dies folgt aus der Näherung
α
2
l
f
≈ α.
α l
≈ sin( ) =
2 2 f .
Wir betrachten Objekte, die sich genau im Fokus des Objektives befinden, also haben wir
f = a. Einsetzen in unsere Formel liefert uns für den minimalen auflösbaren Abstand
dmin ≈ λ
α
= ∆x
Nochmal zusammengefaßt: Der minimal auflösbare Abstand (und damit die Ortsunschärfe)
eines Mikroskopes ist proportional zur Wellenlänge des eingestrahlten Lichtes und anitproportional
zum Öffnungswinkel des eingefangenen Strahlenbündels.
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