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Controller magazin 3/94
anderweitigen Verwendung entgangenen Declcungst)eitrags.
Ich reserviere hier das abkürzende Wort
Opportkosten für die Zurechnung zu den Produkteinheiten.
Die Opportunitätskosten (Dualwerte) an
den Kapazitätseinheiten bezeichne ich wie in der LP
meist üblich als Schattenpreise.
Ein Schattenpreis erreicht im Optimum den allen
Verwendungen der Kapazität gemeinsamen "engpaßbezogenen"
(spezifischen; relativen) Grenz-DB, der
dadurch zwischen den Produkten ausgeglichen wird.
Würde man nämlich die Menge eines der Produkte
vergrößern, so würde dessen zuwachsender Grenz-
DB kleiner werden, als durch den Schattenpreis
vorgezeichnet und irgendwelche anderen Produkte
müßten infolge der Vollbelegung der Kapazität zu
kleineren Mengen ausweichen; damit würden bei
diesen höhere Grenz-DB geopfert als der Schattenpreis.
Das Gleichgewicht der engpaßbezogenen
Grenz-DB - eben der Schattenpreise - führt daher
zu einem nicht mehr zu verbessernden Zustand, zum
Optimum.
Die Wirtschaftlichkeits-(Effizienz-)Bedingung für das
Optimum wird daher erreicht, wenn der Grenz-
Deckungsbeitrag Gl.(l) gleich den Opportkosten
wird.
Dazu ist die Mengenvariable einzustellen. Mit dem
Symbol s für die Opportkosten muß gelten:
(2) g = gh-q*x = s; dimG/M
und daher
(3) x = (gh-s)/q; dimM/Z
Die Opportkosten s werden für jedes Produkt Nr. j
"kalkuliert":
sj = a„*u,+a,,»u/...+a„,»u„; dimG/M
Sie sind die Summe aus den rechnerischen Produkten
der technischen Produktionskoeffizienten
(Belegungszeiten) a und den Schattenpreisen u^, die
man in der Mathematik Dualvariable nennt, in der
praktischen Kostenrechnung u. a. auch Leistungserfolgssätze.
Wären nun die Opportkosten als Ausdruck der
Preisuntergrenze höher als der Höchstwert des
Grenz-DB, dann würde nach Gl. (3) die "optimale"
Menge negativ. Diese sinnlose Lösung muß verhindert
werden, und alle Lösungsalgorithmen sichern
daher durch besondere Maßnahmen die Nicht-
Negativität der Mengen.
Das Optimum eines konvexen Deckungsbeitrages,
der nicht durch knappe Kapazitäten eingeschränkt
wird, ist dann erreicht, wenn die Grenz-DB aller
Absatzmengen Null sind. Ein negativer Wert der
Opportkosten würde zur Einstellung der Menge auf
einen negativen Wert des Grenz-DB führen; der
totale DB wäre also kleiner als im Optimum.
Nun werden im Falle totaler oder auch nur teilweiser
Vollbelegung die Opportkosten der Produkte aus
den Schattenpreisen der Kapazitäten berechnet. Der
Algorithmus muß daher verhindern, daß einer der
Schattenpreise negativ wird.
Es gilt also nicht nur für die Mengen eine Nicht-
Negativitätsbedingung, sondern auch für die
Schattenpreise.
Die Mathematik formuliert diese Optimalitätsbedingungen
logisch vollständig und kompakt in der
Form von Gleichungen für die Zulässigkeit und
Effizienz, weiter durch die Nicht-Negativitäts-
Bedingungen und schließlich durch zwei Zusatzbedingungen:
1) Werden für ein Produkt die Opportkosten höher
als der Höchstwert des Grenz-DB, so muß seine
Menge Null sein. (Preisuntergrenze !)
2) Das rechnerische Produkt aus dem Schattenpreis
und der noch freien Reserve einer Kapazität muß
Null sein.
Die Nutzungszeit eines Potentialfaktors darf also
nur dann einen positiven Kostenwert haben, wenn
dieser voll beschäftigt wird.
Diese Bedingungen werden die Karush-Kuhn-
Tucker-Bedingungen genannt.
Aus der Gleichung (3) für die Menge wird erkennbar,
daß die als Datum eingegebene Abnahme des Grenz-
DB nicht Null sein darf; eine Division durch Null ist
verboten.
Die LP kennt diesen Parameter nicht; er ist dort Null.
Daran werden nun die wesentlichen Unterschiede
zur LP erkennbar: Dort werden durch den Vergleich
der Stück-DB mit den Opportkosten zwar die
Produkte bestimmt, die wirtschaftlich in das Programm
aufgenommen werden können (Simplex-
Kriterium). Ihre Menge wird aber danach nur durch
die technischen Produktionskoeffizienten und die
Kapazitäten (und Absatzschranken) bestimmt. Dazu
wird stets ein System linearer Gleichungen gelöst
oder dessen Lösung durch den Basiswechsel verändert.
Zur Bestimmung der Mengen scheiden aber
Wertvergleiche aus und es sind in einem optimalen
Programm nur soviele Aktivitäten enthalten, wie
Kapazitäten (oder Absatzschranken) voll ausgeschöpft
werden.
Das ist anders bei konvexen Zielfunktionen: Hier
sind die mit der Menge veränderlichen Grenz-
Deckungsbeiträge auf die Höhe der Opportkosten
einzustellen; diese steuern die Mengen. Die Anzahl
der verschiedenen Aktivitäten ist daher hier auch
nicht an die Anzahl der strikt erfüllten Restriktionen
gebunden. Diese bestimmen nur noch die Anzahl der
positiven Schattenpreise.
Der Algorithmus
Für die Schattenpreise können beliebige Startwerte
eingeführt werden. Wir gehen aus von den Startwerten
Null.
Für diese Werte berechnen wir nach Gl. (3) die
Mengen und deren Bedarfe für die Kapazitätsnutzungen.
Treten keine Engpässe auf, so sind wir
fertig. Im Falle von Engpässen benutzen wir die
Schattenpreise als Instrumente zur Herstellung eines
realisierbaren (zulässigen) Programms und korrigieren
sie dazu schrittweise.
Das hier vorgelegte Verfahren sorgt nun dafür, daß
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