Metalle II, Teil c - Lehrstuhl Metallische Werkstoffe, Universität ...

Metalle II, MaWi-Diplom, 7. Sem. Uwe Glatzel Modul WM4, MSE, 1.Sem.
Die Spannung τ 1 auf die führende Versetzung 1 ergibt sich durch die von außen angelegte
Schubspannung τ ext. plus die von jeder der (n-1) verbleibenden Versetzungen wirkende
Spannung τ n, mit n ≠1 . Bewegt sich die führende Versetzung um δx, so rücken auch alle
nachfolgenden Versetzungen um δx auf. Dies ergibt eine verrichtete Arbeit ΔW = n b τ ext. δx.
Das Hindernis (z.B. die Korngrenze) wirkt mit einer Gegenkraft τ crit. auf die führende
Versetzung. Dies ergibt bei Bewegung um δx eine Energieänderung von ΔW * = b τ crit. δx. Im
Gleichgewicht sind die beiden Energiebeiträge gleich groß und somit ist:
τ 1 = N τ ext.
Durch einen Versetzungsaufstau lässt sich somit die Spannung auf die führende Versetzung
deutlich erhöhen. Die Quelle wird weiterhin Versetzungen emittieren, solange die
Rückspannung der letzten Versetzung kleiner ist als τ. Der Abstand zwischen Versetzung i
und (i-1) verhält sich wie
1 b G 1 1
Δ x
i
=
~ (für eine große Anzahl von Versetzungen im Aufstau)
(N − i + 1) 2π
τ i
ext.
Die Zahl der Versetzungen ergibt sich aus dem Abstand der Quelle zum Hindernis und ist hier
ohne Herleitung gegeben (siehe Hirth & Lothe, p. 767ff). Im Fall, dass die Quelle sich im
Zentrum des Kornes befindet, ist dies D/2 (D ... Korndurchmesser).
N =
d τ ext .
G b
==> τ crit. =
d τ 2 ext .
G b
bzw.: τ ext. =
τ
crit.
⋅ G ⋅ b
d
Bei Annahme einer konstanten Korngrenzenfestigkeit τ crit. = τ KG , ergibt sich:
τ
ext.
~
1
d
Somit ist über einen Versetzungsaufstau eine Herleitung für den Zusammenhang zwischen
Korngröße und Streckgrenze gegeben (Hall-Petch).
Korngrößeneinfluss (Hall-Petch-Beziehung)
Aus der obigen Herleitung lässt sich das makroskopische Verformungsverhalten als Funktion
der Korngröße ableiten. Der mittlere Laufweg ist von der Korngröße abhängig. Das heißt ein
grobkörnigerer Werkstoff hat zu Beginn der Verformung eine größere mittlere freie
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