Einsatzmöglichkeiten kryptographischer Methoden zur Signatur und ...

Definition 5:
Die Eulersche Funktion ϕ (n) bezeichnet die Elementanzahl der reduzierten Residuenmenge
modulo n.
Sie entspricht der Anzahl der Zahlen x mit 1 ≤ x < n für die ggt(x,n)=1 gilt.
Satz 1:
Es sei ( , + , ⋅) der Ring der ganzen Zahlen. Durch f
n
(a) = a mod n wird ein Homorphismus
definiert.
f
n
:( ,
+ , ⋅)
- > (
n
, ⊕,
⊗)
Satz 2:
Es gelte ggt(a,n) = 1, dann gilt für alle i, j ∈
0
mit 0 ≤ i < j < n die Beziehung:
Folgerung:
(a ⋅ i) mod n ≠ (a ⋅
j) mod n
Es gelte ggt(a,n) = 1. Dann liefern ( a ⋅ i ) mod n mit i = 0,1,...,n-1 die Reste modulo n,
welche die Menge = { ( a ⋅ i ) mod n | i = 0,1,...,n-1} bilden.
n
Satz 3:
Es sei n ≥ 2 und es gelte ggt(a,n) = 1. Dann existiert genau ein x ∈ , 0 < x < n für
das ( a ⋅ x ) mod n = 1 gilt.
Damit ist x das multiplikative Inverse von a.
Satz 4:
*
n
modulo n eine multipli-
Es sei n ≥ 2. Dann ist die reduzierte Residuenmenge
kative Gruppe.
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