Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.2 Allgemeine Drehimpulse 5-11
und
)
)
k k
Ĵ z
(Ĵ− Ψ = (d − k)
(Ĵ− Ψ . (5.62)
Im zweiten Schritt wird bewiesen, dass alle Funktionen Ĵ ± k Ψ Eigenfunktionen von Ĵ 2 zum
selben Eigenwert c 2 sind. Wir zeigen zuerst, dass Ĵ 2 mit Ĵ ± 2 vertauscht:
[Ĵ Ĵ±]
2 , =
[Ĵ Ĵx]
2 , ±i
[Ĵ Ĵy]
2 , = 0 (5.63)
} {{ } } {{ }
=0
=0
] [Ĵ 2 , ±]
Ĵ 2 =
[Ĵ 2 , Ĵ± Ĵ± +
[Ĵ Ĵ±]
Ĵ±
2 , = 0 (5.64)
und durch Induktion
Es folgt also
[Ĵ 2 , ±]
Ĵ k = 0 oder Ĵ 2 Ĵ± k = Ĵ ±Ĵ k 2 . (5.65)
) )
)
Ĵ
(Ĵ 2 k
± Ψ = Ĵ ±
(Ĵ k 2 Ψ = 2 k
c
(Ĵ± Ψ . (5.66)
Im dritten Schritt werden Randbedingungen berücksichtigt. Es gibt nämlich nur eine endliche
Anzahl Eigenfunktionen von Ĵz, die durch Ĵ ±
k erzeugt werden können. Dies lässt sich
folgendermassen zeigen:
)
)
Ĵz
(Ĵ 2 k
± Ψ)
=
(Ĵ ĴzĴz
k k
± Ψ = (d ± k)Ĵz
(Ĵ± Ψ
)
= 2 (d ± k)
(Ĵ 2 k
± Ψ . (5.67)
Daraus folgt
(Ĵ 2 − Ĵ 2 z
) (Ĵ
k
± Ψ)
)
= 2 (c − (d ± k) 2 k
)
(Ĵ± Ψ
) )
2
=
(Ĵx + Jy (Ĵ 2 k
± Ψ . (5.68)
)
)
Der Eigenwert 2 (c − (d ± k) 2 ) des Operators
(Ĵ 2 − Ĵ z 2 2
=
(Ĵx + Ĵ y
2 muss eine positive reelle
Zahl sein, da der Betrag eines Vektors mindestens so gross sein muss wie eine Komponente.
Damit ergibt sich die Ungleichung
2 ( c − (d ± k) 2) 0
(
c − (d ± k)
2 ) 0
√ c |d ± k| ,
oder
√ c d ± k −
√ c k = 0, 1, 2, ... . (5.69)
Es existieren also ein maximaler Wert d max und ein minimaler Wert d min für d mit entsprechenden
Eigenfunktionen Ψ max und Ψ min . Deshalb muss gelten:
Ĵ + Ψ max = 0 und Ĵ − Ψ min = 0 .
Vorlesungsskript PCIII