Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

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5-28 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik 5.4.4 Der asymmetrische Kreisel Bei asymmetrischen Kreiseln sind alle drei Hauptträgheitsmomente verschieden (I X ≠ I Y ≠ I Z ). Der Hamilton-Operator Ĥ = Ĵ 2 X 2 I X + Ĵ 2 Y 2 I Y + Ĵ 2 Z 2 I Z (5.164) kann nicht mehr nur als Funktion der zwei Drehimpulsoperatoren Ĵ 2 und ĴZ ausgedrückt und somit nicht mehr durch Diagonalmatrizen dargestellt werden. Somit können die Energieeigenwerte im Allgemeinen nicht analytisch angegeben werden. Um die Energieeigenwerte zu ermitteln, werden zunächst die Operatoren Ĵ X 2 , Ĵ Y 2 , Ĵ Z 2 und Ĥ in Matrixform ausgedrückt. Die Rotationsenergien entsprechen den Eigenwerten der Matrix Ĥ (siehe Übung 10). 5.5 Der Spin Quantenmechanische Elementarsysteme (Teilchen) haben einen intrinsischen Drehimpuls, der als Spin ⃗s oder I ⃗ bezeichnet wird und kein klassisches Analogon besitzt. Die Hypothese des Elektronspins wurde von Uhlenbeck und Goudsmit aufgestellt, um bis dahin unerklärbare Erscheinungen in den Atomspektren deuten zu können. i Damit konnte in der Folge auch das Stern-Gerlach-Experiment, mit dem die Raumquantisierung der magnetischen Momente erstmals gezeigt wurde, korrekt interpretiert werden: Das magnetische Moment des Silberatoms im Grundzustand rührt vom Elektronenspin her, da das einzige ungepaarte Elektron (wie auch in Wasserstoff und den Alkalimetallen) ein s-Elektron mit l = 0 ist. ii Zur quantenmechanischen Beschreibung des Elektrons führte Pauli die Spinkomponente ŝ z (mit den zwei einzigen Eigenwerten +/2 und −/2) als eine zusätzliche unabhängige Variable neben den Ortskoordinaten und die nach ihm benannten Spinmatrizen ein (siehe Beispiel in Abschnitt 5.3). iii Dirac konnte schliesslich die Existenz des Spins durch eine relativistische Behandlung des Elektrons erklären. iv Phänomenologisch ist der Spin eines Systems der Anteil des Gesamtdrehimpulses, der nicht auf Bahn- oder Rotationsdrehimpulse zurückgeführt werden kann. Beispielsweise gilt für ein Atom i G. E. Uhlenbeck, S. Goudsmit, ” Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons“, Naturwissenschaften 47, 953–954 (1925). G. E. Uhlenbeck, S. Goudsmit, ” Spinning Electrons and the Structure of Spectra“, Nature 117, 264–265 (1926). ii Walther Gerlach, Otto Stern, ” Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld“, Z. Phys. 9, 349–352 (1922). Bretislav Friedrich, Dudley Herschbach, ” Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics“, Physics Today 56[12], 53–59 (Dec. 2003). iii W. Pauli jr., ” Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons“, Z. Phys. 43, 601–623 (1927). iv P. A. M. Dirac, ” The Quantum Theory of the Electron“, Proc. R. Soc. London Ser. A 117, 610–624; 118, 351–361 (1928). P. A. M. Dirac, ” The Principles of Quantum Mechanics“, 2nd ed., Clarendon Press, Oxford UK, 1935. Vorlesungsskript PCIII
5.5 Der Spin 5-29 (ohne Berücksichtigung des Kernspins) ˆ⃗S = ˆ⃗ J − ˆ⃗L , (5.165) wobei die Bezeichnungen aus Tabelle 5.1 verwendet worden sind. Als quantenmechanischer Drehimpuls besitzt der Spin folgende Eigenschaften: [Ŝx , Ŝy] = i Ŝz und zyklische Vertauschung (5.166) [Ŝz , Ŝ2 ] = 0 (5.167) mit Ŝ 2 |S, M S 〉 = 2 S(S + 1) |S, M S 〉 (5.168) Ŝ z |S, M S 〉 = M S |S, M S 〉 . (5.169) Beispiel: Spindrehimpulsquantenzahlen und magnetische Quantenzahlen für verschiedene Elementarteilchen und Atomkerne Der Wert der Spinquantenzahl ist für jedes Elementarteilchen und für jeden Atomkern eine charakteristische Grösse, welche in entsprechenden Nachschlagewerken gefunden werden kann. Für Elektronen, Protonen und Neutronen beträgt s = 1 /2. Für m s ergeben sich daraus zwei erlaubte Werte, nämlich m s = − 1 /2 und m s = 1 /2. In der folgenden Tabelle sind einige Kernspindrehimpulsquantenzahlen I mit den erlaubten Werten für m I angegeben sowie Beispiele von stabilen Atomkernen für die verschiedenen I-Werte. I mögliche Werte für m I Beispiele für stabile Atomkerne 0 0 4 He, 12 C, 16 O, 18 O 1/2 − 1 /2 1/2 1 H, 13 C, 15 N, 19 F, 31 P 1 −1 0 1 6 Li, 14 N, 2 H 3/2 − 3 /2 − 1 /2 1/2 3/2 7 Li, 9 Be, 11 B, 23 Na, 35 Cl, 37 Cl 2 −2 −1 0 1 2 Für I = 2 gibt es keine stabilen Atomkerne sondern nur radioaktive. Es gibt jedoch stabile Atomkerne, für die I > 2 gilt. Als Beispiele seien etwa 17 O mit I = 5 /2, 10 B mit I = 3 oder 83 Kr mit I = 9 /2 erwähnt. Zu beachten ist, dass im Gegensatz zu den Quantenzahlen m s und m I , welche auch negative Werte annehmen können, für die Quantenzahlen s und I stets s 0 respektive I 0 gelten muss. Vorlesungsskript PCIII
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