Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.1 Der Bahndrehimpuls 5-3
Zudem gilt für den Operator des Quadrates des Bahndrehimpulses
ˆl2 = ˆl 2 x + ˆl 2 y + ˆl 2 z . (5.4)
Mit Gleichung (5.3) lassen sich die Vertauschungsrelationen zwischen den Komponenten l i von
ˆ⃗ l herleiten.
5.1.1 Vertauschungsrelationen
[ˆlx , ˆl
]
y = (ŷˆp z − ẑ ˆp y ) (ẑ ˆp x − ˆxˆp z ) − (ẑ ˆp x − ˆxˆp z ) (ŷˆp z − ẑ ˆp y )
= [ŷˆp z , ẑ ˆp x ] − [ŷˆp z , ˆxˆp z ] − [ẑ ˆp y , ẑ ˆp x ] + [ẑ ˆp y , ˆxˆp z ]
= ŷ [ˆp z , ẑ]
} {{ }
−i
ˆp x − 0 − 0 + ˆx [ẑ, ˆp z ] ˆp
} {{ } y
i
= i [ˆxˆp y − ŷˆp x ] = i ˆl z , (5.5)
und mit zyklischer Vertauschung
[ˆlx , ˆl y
]
= i ˆl z ,
[ˆly , ˆl
]
z = i ˆl x ,
[ˆlz , ˆl
]
x = i ˆl y . (5.6)
Aus den Gleichungen (5.1) und (5.4) können auch die Vertauschungsrelationen zwischen ˆl 2 und
den Komponenten ˆl i des Bahndrehimpulsvektors hergeleitet werden:
[ˆl2 , ˆl
]
z =
[ˆl2 x + ˆl y 2 + ˆl z, 2 ˆl
]
z
=
[ˆl2 x , ˆl
]
z +
[ˆl2 y , ˆl
]
z +
[ˆl2 z , ˆl
]
z
} {{ }
0
=
[ˆlx , ˆl
]
z ˆlx + ˆl x
[ˆlx , ˆl
]
z +
[ˆly , ˆl
]
z ˆly + ˆl y
[ˆly , ˆl
]
z = 0 .
Analog findet man
[ˆl2 , ˆl
]
x = 0 und
[ˆl2 , ˆl
]
y = 0 .
Aus diesen Vertauschungsrelationen kann man die folgenden Schlüsse ziehen:
• Es ist unmöglich, mehr als eine Komponente des Bahndrehimpulsvektors eines Teilchens
gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen (siehe Kapitel 3): Es besteht die
Unbestimmtheitsrelation
∆l x ∆l y 1|〈[ˆl 2 x , ˆl y ]〉| = 1|〈ˆl 2 z 〉| . (5.7)
• Der Betrag des Drehimpulsvektors |ˆ⃗ l| und eine Komponente (z.B. ˆlz ) können gleichzeitig
genau bestimmt werden.
Vorlesungsskript PCIII