Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.7 Die Addition von Drehimpulsen 5-35
z
z
Präzessionsachse
⃗j 2
⃗J
m 2
⃗j
m 1
1
M
y
m ′ 2
m ′ 1
m 2
⃗J j2 ⃗ M
m 1
⃗ j1
y
x
Abbildung 5-13: Ungekoppelte Darstellung der
Drehimpulsaddition.
x
Abbildung 5-14: Gekoppelte Darstellung der Drehimpulsaddition.
ˆ⃗J erhält man aus der Vektoraddition von ˆ⃗j 1 und ˆ⃗j 2 :
ˆ⃗J = ˆ⃗j 1 + ˆ⃗j 2 Ĵ x = ĵ 1x + ĵ 2x , Ĵ y = ĵ 1y + ĵ 2y , ... (5.194)
Es stellt sich die Frage, ob der Vektor ˆ⃗ J = ˆ⃗j 1 + ˆ⃗j 2 ebenfalls die Vertauschungsrelationen eines
Drehimpulses erfüllt, und was die entsprechenden Quantenzahlen J und M betragen.
Wir beweisen zuerst, dass ˆ⃗ J ein Drehimpuls ist, d.h. wir zeigen, dass die Vertauschungsrelationen
(5.44) und (5.45) erfüllt sind:
[Ĵx Ĵy]
] ]
, =
[ĵ1x + ĵ 2x , ĵ 1y + ĵ 2y =
[ĵ1x , ĵ 1y
} {{ }
i ĵ 1z
+
] ] ]
[ĵ1x , ĵ 2y +
[ĵ2x , ĵ 1y +
[ĵ2x , ĵ 2y
} {{ } } {{ } } {{ }
0
0
i ĵ 2z
)
= i
(ĵ1z + ĵ 2z = i Ĵz q.e.d. (5.195)
[Ĵ Ĵz] [ ) 2 ) 2 ) ]
2 2 , =
(ĵ1x + ĵ 2x +
(ĵ1y + ĵ 2y +
(ĵ1z + ĵ 2z , ĵ1z + ĵ 2z
=
[ĵ2 1 + ĵ2 2 + 2(ˆ⃗j 1 · ˆ⃗j
]
2 ), ĵ 1z + ĵ 2z
]
]
= 2
[ĵ1x ĵ 2x , ĵ 1z + ĵ 2z +2
[ĵ1y ĵ 2y , ĵ 1z + ĵ 2z = 0 q.e.d. (5.196)
} {{ } } {{ }
−iĵ 1y ĵ 2x −iĵ 1x ĵ 2y iĵ 1x ĵ 2y +iĵ 1y ĵ 2x
ˆ⃗J ist also ein Drehimpuls. Es gilt daher:
Ĵ 2 Ψ = 2 J(J + 1) Ψ (5.197)
Ĵ z Ψ = M Ψ . (5.198)
Die möglichen Werte der Quantenzahlen J und M, die aus der Addition von ˆ⃗j 1 und ˆ⃗j 2 resultieren,
können wie folgt bestimmt werden.
Vorlesungsskript PCIII