Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

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5-22 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik oder A ′ ij = ∑ k ∑ R ik R jl A kl (5.136) l Euler Rotationen: Rotationsmatrizen können als Funktion der drei Euler Winkel α, β und γ dargestellt werden. In diesem Fall wird die Rotationsmatrix R(α, β, γ), die einen Wechsel des Koordinatensystems beschreibt als Abfolge von drei Rotationen konstruiert: entsprechend • zuerst einer Rotation um α um die original z-Achse • dann einer Rotation um β um die neue y’-Achse und schlussendlich • einer Rotation um γ um die neue z”-Achse R(α, β, γ) = R z ′′(γ)R y ′(β)R z (α) (5.137) Diese Konvention für die Euler Rotationen ist leider nicht die einzige, die in der Literatur verwendet wird und beim Vergleich mit anderen Quellen ist Vorsicht geboten. Die inverse Rotation ist gegeben durch: R −1 (α, β, γ) = R(−γ, −β, −α) = R z ′′(−α)R y ′(−β)R z (−γ) (5.138) In karthesischen Koordinaten gilt für eine z-Rotation ⎛ ⎞ cos(θ) sin(θ) 0 ⎜ ⎟ R z (θ) = ⎝ − sin(θ) cos(θ) 0) ⎠ (5.139) 0 0 1 und für eine y-Rotation: R z (θ) = ⎛ ⎜ ⎝ cos(θ) 0 − sin(θ) 0 1 0) sin(θ) 0 cos(θ) ⎞ ⎟ ⎠ (5.140) Damit gilt für die karthesische Version der allgemeinen Eulermatrix: R z (α, β, γ) = ⎛ ⎞ cos α cos β cos γ − sin α sin γ sin α cos β cos γ + cos α sin γ − sin β cos γ ⎜ ⎟ ⎝ − cos α cos β sin γ − sin α cos γ − sin α cos β sin γ + cos α cos γ sin β sin γ ⎠ cos α sin β sin α sin β cos β (5.141) Vorlesungsskript PCIII
5.4 Die Rotation starrer Moleküle 5-23 Quantenmechanische Behandlung des starren Rotators (mittels Korrespondenzprinzip) Die Schrödinger-Gleichung für die Drehbewegung kann gemäss Korrespondenzprinzip aus (5.123) als mit Ĥ rot Ψ rot = E rot Ψ rot (5.142) Ĥ rot = 1 ĴX 2 + 1 ĴY 2 + 1 ĴZ 2 (5.143) 2 I X 2 I Y 2 I Z geschrieben werden. Da es drei Rotationsfreiheitsgrade gibt, erwartet man drei Rotationsquantenzahlen. i Diese drei Quantenzahlen sind J, M und K; sie kommen in den folgenden Eigenwertgleichungen vor: Ĵ 2 Ψ = 2 J(J + 1) Ψ mit J = 0, 1, 2, ..., (5.144a) Ĵ z Ψ = M Ψ mit M = 0, ±1, ±2, ..., ±J (5.144b) Ĵ Z Ψ = K Ψ mit K = 0, ±1, ±2, ..., ±J. (5.144c) J ist die Rotationsdrehimpulsquantenzahl, M die Quantenzahl für die Projektion von ˆ⃗ J auf die raumfeste z-Achse und K die Quantenzahl für die Projektion von ˆ⃗ J auf die Z-Achse des molekülfesten Hauptachensystems. Man bezeichnet die Wellenfunktionen entsprechend mit Ψ rot,J,K,M = |J, K, M〉 . (5.145) Im freien Raum hängt E rot nicht von M ab, da wir die raumfesten Achsen beliebig definieren können. Man beachte, dass für die Komponenten ĴX, Ĵ Y und ĴZ die sogenannten anomalen Vertauschungsrelationen (d.h. umgekehrtes Vorzeichen gegenüber Gleichung (5.6)) gelten ii : [ĴX, ĴY ] = −iĴZ und zyklische Vertauschung . (5.146) Als Folge davon erniedrigt der Leiteroperator Ĵ + = ĴX + iĴY die Quantenzahl K um eins und Ĵ − = ĴX − iĴY erhöht K um eins (vgl. Gleichung (5.98) und (5.99)): 〈J ′ , K ′ , M ′ |Ĵ ± |J, K, M〉 = √ J(J + 1) − K(K ∓ 1)δ J ′ ,Jδ K ′ ,K∓1δ M ′ ,M . (5.147) Um eine Verwechslung mit den Leiteroperatoren Ĵ± im laborfesten Koordinatensystem zu vermeiden, werden die Leiteroperatoren im molekülfesten Koordinatensystem als Ĵ ± (d. h. mit hochgestelltem ±) geschrieben. i Zum Vergleich: Beim Bahndrehimpuls eines Elektrons in einem Atom gibt es zwei Freiheitsgrade (θ, φ) und zwei Quantenzahlen (l, m) (siehe Abschnitt 5.1). ii Das umgekehrte Vorzeichen kommt von der Tatsache, dass wenn sich ein freies Molekül im Raum dreht, das laborfeste Koordinatensystem im Vergleich zum molekülfesten Koordinatensystem sich in entgegengesetzter Richtung dreht. Vorlesungsskript PCIII
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