Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.4 Die Rotation starrer Moleküle 5-25
E / hc
.
12˜B
J = 3
g 3 = 49
6˜B
J = 2
g 2 = 25
2˜B
0
J = 1
J = 0
g 1 = 9
g 0 = 1
Abbildung 5-7: Darstellung der Rotationsenergieniveaus eines Kugelkreisels.
5.4.2 Der symmetrische Kreisel
Für den symmetrischen Kreisel gilt I X = I Y ≠ I Z . Es können zwei Fälle unterschieden werden:
1. I X = I Y > I Z , sog. “prolate” Fall (spindelförmiger Kreisel), z. B. CH 3 Cl. In diesem Fall
ordnet man die Achsen (X, Y, Z) zu (b, c, a).
2. I X = I Y < I Z , sog. “oblate” Fall (tellerförmiger Kreisel), z. B. NH 3 , C 6 H 6 . In diesem Fall
werden die Achsen gemäss (X, Y, Z) → (a, b, c) zugeordnet.
Der Hamilton-Operator für die Rotationsbewegung lautet
Ĥ rot = Ĵ 2 X + Ĵ 2 Y
2 I X
+ Ĵ 2 Z
2 I Z
= Ĵ 2 − Ĵ 2 Z
2 I X
+ Ĵ 2 Z
2 I Z
. (5.155)
Die Eigenfunktionen von Ĥ sind Eigenfunktionen von Ĵ 2 und von ĴZ:
[ ( Ĵ
2 1
Ĥ rot Ψ rot,J,K,M = +
2 I Ĵ Z
2 − 1 ) ] Ψ rot,J,K,M
X 2 I Z 2 I X
[ (
2
1
= J (J + 1) + − 1 ) ]
2 K 2 Ψ rot,J,K,M . (5.156)
2 I X 2 I Z 2 I
} {{ X
}
Eigenwert
Die Energieeigenwerte sind
E J,K,M = E J,K = 2
2 I X
J (J + 1) +
resp.
(
2
2 I Z
− 2
2 I X
)
K 2
=h c ˜B J (J + 1) + h c (Ã } {{ − ˜B) K 2
}
(spindelförmiger Kreisel) (5.157)
pos.
h c ˜B J (J + 1) + h c ( ˜C −
} {{ ˜B) K 2
}
(tellerförmiger Kreisel). (5.158)
neg.
Vorlesungsskript PCIII