Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

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5-12 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik Diese zwei Gleichungen können, nach Multiplikation von links mit Ĵ− bzw. Ĵ + als Ĵ − Ĵ + Ψ max = 0 (5.70) ) = (Ĵ 2 − Ĵ z 2 − Ĵz Ψ max = 2 ( c − d 2 max − d max ) Ψmax und Ĵ + Ĵ − Ψ min = 0 (5.71) ) = (Ĵ 2 − Ĵ z 2 + Ĵz Ψ min = ( ) 2 c − d 2 min + d min Ψmin . geschrieben werden. Aus den Gleichungen (5.70) und (5.71) erhält man c = d max (d max + 1) c = d min (d min − 1) und also d max (d max + 1) = d min (d min − 1) . (5.72) Gleichung (5.72) hat zwei Lösungen d max = −d min und d max = d min − 1 , wobei die zweite Lösung nicht physikalisch ist, da d max d min sein muss. Zudem gilt d max − d min = n n = 0, 1, 2, .... Daraus folgt, dass d max = n = J 2 mit J = 0, 1 /2, 1, 3 /2, .... Somit sind die Lösungen der Eigenwertgleichungen (5.8) und (5.9) Ĵ 2 Ψ JM = 2 J(J + 1) Ψ JM (5.73) mit J = 0, 1 /2, 1, 3 /2, ... und Ĵ z Ψ JM = M Ψ JM , (5.74) mit M = −J, −J + 1, ..., J, wobei J die Drehimpulsquantenzahl und M die magnetische Quantenzahl sind. Die Eigenfunktionen werden wie üblich mit den Quantenzahlen J und M indiziert. Diese Lösungen sind den Lösungen des Bahndrehimpulsproblems (Gleichungen (5.34) und (5.35)) sehr ähnlich. Die Bahndrehimpulsquantenzahlen l und m sind aber ganzzahlige Quantenzahlen, während die Quantenzahlen J und M eines allgemeinen Drehimpulses ganz- oder halbzahlig sein können. Aus der experimentell bestätigten Existenz von halbzahligen Drehimpulsen lässt sich schliessen, dass es neben Bahn- und Rotationsdrehimpulsen noch einen anderen Vorlesungsskript PCIII
5.2 Allgemeine Drehimpulse 5-13 Typ von Drehimpuls geben muss. Dieser Drehimpuls ist der Spin, der auch halbzahlige Werte besitzen kann (vgl. Postulat 5 in Kapitel 3 und Abschnitt 5.5). Beispiel: Orientierung von Drehimpulsvektoren in der Quantenmechanik — das Vektormodell des Drehimpulses Aus Gleichungen (5.73) und (5.74) erhält man für den Betrag | ⃗ J| und die z-Komponente des Drehimpulses ⃗ J | ⃗ J| = √ J(J + 1) , (5.75) J z = M . (5.76) Da es in der Quantenmechanik nicht möglich ist, neben der Länge | ⃗ J | und der z- Komponente J z weitere Komponenten (J x , J y ) gleichzeitig exakt zu bestimmen [siehe Gleichung (5.44)], kann der Drehimpulsvektor J ⃗ niemals exakt parallel zur z-Achse des Koordinatensystems stehen. In einem solchen Fall wären nämlich die x- und die y- Komponenten genau null und somit exakt bestimmt. Die einzige Aussage, die über die x- und y-Komponenten gemacht werden kann, ist, dass diese zusammen eine Kreisbahn bilden, da gelten muss: J 2 x + J 2 y = | ⃗ J| 2 − J 2 z = 2 [ J(J + 1) − M 2] , (5.77) wobei die rechte Seite von Gleichung (5.77) für gegebene Werte der Quantenzahlen J und M konstant ist und diese somit eine Kreisbahn mit Radius √ J(J + 1) − M 2 beschreibt (siehe Abbildung 5-6). Ein weiterer Grund, warum ein Drehimpulsvektor ⃗ J in der Quantenmechanik nie parallel zur z-Achse stehen kann, kann direkt ausgehend von den obigen Beziehungen (5.73) und (5.74) hergeleitet werden. In diesem Fall müsste der Betrag der z-Komponente von ⃗ J gerade seiner Länge entsprechen, während die x- und y-Komponenten verschwinden. Es müsste wegen Gleichung (5.73) also ⃗J ? = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 ± √ J(J + 1) ⎞ ⎟ ⎠ (5.78) gelten. Gemäss Gleichung (5.74) sind für den Betrag |J z | der z-Komponente von ⃗ J aber nur Werte bis maximal J möglich. Da ausser für J = 0, das heisst in Fällen, in denen kein Drehimpuls ⃗ J vorhanden ist, stets J < √ J(J + 1) gilt, kann der Drehimpulsvektor ⃗ J also nie exakt parallel zur z-Achse des Koordinatensystems stehen. Vorlesungsskript PCIII
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Seite 15 und 16: 5.3 Matrixdarstellung von Drehimpul
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