Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.4 Die Rotation starrer Moleküle 5-21
sich in ihren Transformationseigenschaften unter Rotationen (des Koordinatensystems):
Tensoren vom Rang 0: Skalare
Gewisse Eigenschaften eines physikalischen Systems sind unabhängig vom Koordinatensystem
( in welchem ) sie ( beschreiben sind. Betrachen wir zwei Punkte im Raum X =
x 1 , x 2 , x 3 und Y = y 1 , y 2 , y 3
). Die Distanz zwischen diesen beiden Punkten:
∑
r XY = √ 3 (x i − y i ) 2 (5.130)
i=1
ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Wenn wir die neuen Koordinaten
mit einem Apostroph bezeichnen gilt:
Im allgemeinen gilt für jede skalare Grösse:
r ′ XY = r XY (5.131)
A ′(0) = A (0) (5.132)
Eine wichtige skalare Grösse ist die Energie. Damit ist der Hamiltonoperatore ebenfalls ein
skalarer Operator.
Tensoren vom Rang 1: Vektoren ( )
Die Koordinaten eines Punktes ⃗x = x 1 , x 2 , x 3 sind ein Beispiel für eine Grösse mit
Rang 1, die auch Vektorgrössen genannt werden. Unter einer Koordinatentransformation
verhalten sie sich folgendermassen:
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛
a ′ x R xx R xy R xz
⎜
⎝ a ′ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
y ⎠ = ⎝ R yx R yy R yz ⎠ ⎝
R zx R zy R zz
a ′ z
a x
a y
a z
⎞
⎟
⎠ (5.133)
oder
a ′ i = ∑ j
R ij a j (5.134)
Tensoren vom Rang 2: Spurlose Matrizen
Unter einer Koordinatentransformation verhalten sich Matrizen folgendermassen:
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
A ′ xx A ′ yx A ′ zx R xx R xy R xz A xx A yx A zx R xx R yx R zx
⎜
⎝ A ′ xy A ′ yy A ′ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
zy ⎠ = ⎝ R yx R yy R yz ⎠ ⎝ A xy A yy A zy ⎠ ⎝ R xy R yy R zy ⎠
A ′ xz A ′ zy A ′ zz R zx R zy R zz A xz A zy A zz R xz R zy R zz
(5.135)
Vorlesungsskript PCIII