Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.1 Der Bahndrehimpuls 5-5
mittels der Kettenregel der Differentialrechnung durchgeführt:
( ) ( )
∂ ∂r ∂
∂x = ∂x
y,z
∂r
( ) ( )
∂ ∂r ∂
∂y = ∂y
x,z
∂r
( ) ( )
∂ ∂r ∂
∂z = ∂z
x,y
∂r
θ,φ
θ,φ
θ,φ
( ) ( )
∂θ ∂
+
∂x
y,z
∂θ
( ) ( )
∂θ ∂
+
∂y
x,z
∂θ
( ) ( )
∂θ ∂
+
∂z
x,y
∂θ
r,φ
r,φ
r,φ
( ) ∂φ
+
∂x
( ) ∂φ
+
∂y
( ) ∂φ
+
∂z
y,z
x,z
x,y
( ) ∂
∂φ
( ) ∂
∂φ
( ) ∂
∂φ
r,θ
r,θ
r,θ
(5.11)
(5.12)
. (5.13)
Die partiellen Ableitungen können unter Verwendung der Gleichungen (5.10a) bis (5.10f) wie
folgt bestimmt werden:
( )
∂r(x, y, z)
∂x
( )
∂θ(x, y, z)
∂x
( )
∂φ(x, y, z)
∂x
y,z
y,z
y,z
= 1 2x
√
2 x2 + y 2 + z = x 2 r
( )
∂ arccos(z/r)
=
∂x
y,z
( )
∂ arctan(y/x)
=
∂x
(5.10f)
(5.10d)
=
(5.10e)
=
y,z
(5.10a)
=
r sin θ cos φ
r
(
(z/r) ∂r
r √ 1 − (z/r) 2 ∂x
= sin θ cos φ (5.14)
)
y,z
=
cos θ cos φ
r
(5.15)
( )
1 −y
= − sin φ
1 + (y/x) 2 x 2 r sin θ . (5.16)
Analog erhält man
( ) ∂r
∂y
( ) ∂r
∂z
( ) ∂θ
∂y
( ) ∂θ
∂z
( ) ∂φ
∂y
( ) ∂φ
∂z
x,z
x,y
x,z
x,y
x,z
x,y
= sin θ sin φ (5.17a)
= cos θ (5.17b)
=
cos θ sin φ
r
= − sin θ
r
= cos φ
r sin θ
(5.17c)
(5.17d)
(5.17e)
= 0 . (5.17f)
Somit ergeben sich für ∂
∂x , ∂
∂y , ∂
∂z
und für den Laplace-Operator ∆ =
∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
∂z 2
∂
∂x = sin θ cos φ ∂ cos θ cos φ ∂
+
∂r r ∂θ − sin φ ∂
r sin θ ∂φ
∂
∂y = sin θ sin φ ∂ cos θ sin φ ∂
+
∂r r ∂θ + cos φ ∂
r sin θ ∂φ
∂
∂z = cos θ ∂ ∂r − sin θ ∂
r ∂θ
∆ = ∂2
∂r 2 + 2 r
∂
∂r + 1 r 2 ( ∂
2
∂θ 2 + cot θ ∂ ∂θ + 1
sin 2 θ
(5.18)
(5.19)
(5.20)
)
∂ 2
. (5.21)
∂φ 2
Das Einsetzen dieser partiellen Ableitungen in die Gleichungen (5.3) und (5.4) führt zu den
Vorlesungsskript PCIII