Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.3 Matrixdarstellung von Drehimpulsoperatoren 5-17
Man erhält für Ĵz
[
〈α|Ĵz|α〉
Ĵ z =
〈β|Ĵz|α〉
〈α|Ĵz|β〉
〈β|Ĵz|β〉
]
= 2
[
1 0
0 −1
]
= 2 σ z , (5.102)
für Ĵ 2 Ĵ 2 =
[
〈α|Ĵ 2 |α〉
〈β|Ĵ 2 |α〉
〈α|Ĵ 2 |β〉
〈β|Ĵ 2 |β〉
]
= 2 [
3
4
0
0 3 4
]
= 32
4 σ2 z = 32
4 ˆ1 , (5.103)
und analog (siehe Gleichungen(5.98) und (5.99))
[ ]
0 1
Ĵ + =
(5.104)
0 0
[ ]
0 0
Ĵ − =
(5.105)
1 0
[ ]
Ĵ x = Ĵ+ + Ĵ− = 0 1
= 2 2 1 0 2 σ x (5.106)
[ ]
Ĵ y = Ĵ+ − Ĵ− = 0 −i
= 2i 2 i 0 2 σ y . (5.107)
Die Matrizen σ x , σ y und σ z sind auch als Pauli-Matrizen bekannt (siehe Übung 1). Da
der Raum zweidimensional ist, haben die Vektoren nur zwei Komponenten und können als
Zweikomponentenvektoren folgendermassen geschrieben werden:
[ ]
1
| 1 /2, 1/2〉 = |α〉 =
0
| 1 /2, − 1 /2〉 = |β〉 =
[
0
1
]
(5.108)
. (5.109)
Mit diesen Vektoren kann zum Beispiel der Eigenwert von Ĵz in einem System, das durch
|α〉 charakterisiert ist, wie folgt berechnet werden:
[ ] [ ] [ ]
Ĵ z |α〉 = 1 0 1
= 1
, (5.110)
2 0 −1 0 2 0
so dass der Eigenwert von Ĵz 2 ist. Zudem kann der Erwartungswert von Ĵx im |α〉 Zustand
berechnet werden gemäss:
[
2
1 0
] [ 0 1
1 0
] [
1
0
]
= 2
[
1 0
] [ 0
1
]
= 0 . (5.111)
Vorlesungsskript PCIII