Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

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5-8 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik Die ersten zugeordneten Legendre-Polynome und Kugelflächenfunktionen lauten: P 0 0 (cos θ) = 1 Y 0,0 (θ, φ) = 1 √ 4 π (5.41a) P 0 1 (cos θ) = cos θ Y 1,0 (θ, φ) = 1 2√ 3 π cos θ (5.41b) P 1 1 (cos θ) = − sin θ Y 1,±1 (θ, φ) = − 1 2 Weitere Funktionen sind in Anhang D aufgelistet. √ 3 2 π sin θ e±i φ . (5.41c) 5.1.4 Graphische Darstellung der Kugelflächenfunktionen Die Kugelflächenfunktionen können graphisch dargestellt werden, indem für jedes Paar von Polarwinkeln (θ, φ) in der entsprechenden Raumrichtung ein Punkt in einem Abstand zum Ursprung des Koordinatensystems, der gerade den Wert |Y l,m (θ, φ)| entspricht, gezeichnet wird. Das Vorzeichen von |Y l,m (θ, φ)| kann durch die unterschiedliche Farbe (oder Schattierung) der so erhaltenen Oberflächen angegeben werden. Diese Prozedur ergibt für Y 0,0 (θ, φ) = √ 1 4 π eine Kugel, wie sie in Abbildung 5-2 graphisch dargestellt ist. √ Für Y 1,0 (θ, φ) = 1 3 cos θ erhält man eine “hantelförmige” Fläche, die zylindersymmetrisch zur 2 π z-Achse ist. Y 1,0 entspricht der Winkelfunktion eines p z -Orbitals und ist in Abb. 5-3 dargestellt. Abbildung 5-2: s-Orbital. Abbildung 5-3: p z -Orbital. Die Funktionen Y 1,1 und Y 1,−1 können nicht auf dieselbe Weise dargestellt werden, da sie komplexwertig sind. Sie können aber so überlagert werden, dass die Superposition nur noch einen Realteil besitzen: −Y 1,−1 (θ, φ) − Y 1,1 (θ, φ) √ 2 = 1 2√ 3 π sin θ cos φ → p x (5.42) Y 1,−1 (θ, φ) − Y 1,1 (θ, φ) √ 2 i = 1 2√ 3 π sin θ sin φ → p y (5.43) Vorlesungsskript PCIII
5.2 Allgemeine Drehimpulse 5-9 Diese Flächen entsprechen den Winkelfunktionen der p x - und p y -Orbitale und sind in Abbildungen 5-4 und 5-5 abgebildet. Weitere Orbitale werden im Anhang D dargestellt. Abbildung 5-4: p x -Orbital. Abbildung 5-5: p y -Orbital. 5.2 Allgemeine Drehimpulse: Lösung der Eigenwertgleichung mittels Leiteroperatoren Es sei ˆ⃗J = (Ĵx, Ĵy, Ĵz) ein allgemeiner Drehimpuls, definiert durch die Vertauschungsrelationen (siehe Abschnitt 5.1.1) ] [Ĵx , Ĵy = i Ĵz und zyklischer Vertauschung, (5.44) [Ĵ Ĵx] 2 , = [Ĵ Ĵy] 2 , = [Ĵ Ĵz] 2 , = 0 . (5.45) Statt Differentialgleichungen der Form (5.26) und (5.27) zu lösen, wird hier ein eleganterer Lösungsweg vorgestellt, der auf Operatoralgebra beruht. Wir definieren die sogenannten Drehimpuls-Leiteroperatoren (engl. ladder operators) Ĵ± als beziehungsweise Ĵ + = Ĵx + i Ĵy (5.46) Ĵ − = Ĵx − i Ĵy , (5.47) Ĵ x = Ĵ+ + Ĵ− 2 (5.48) Dann ist Ĵ y = Ĵ+ − Ĵ− 2i . (5.49) Ĵ + Ĵ − = (Ĵx Ĵy) ) ) ) + i (Ĵx − i Ĵy = (Ĵx Ĵx − i Ĵy + i (Ĵx Ĵy − i Ĵy = Ĵ x 2 + Ĵ y 2 −i ĴxĴy + i } {{ ĴyĴx } = Ĵ 2 − Ĵ z 2 + Ĵz . (5.50) −i[Ĵx,Ĵy]= Ĵz Vorlesungsskript PCIII
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