Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5-36 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik
Zuerst zeigen wir, dass Ĵz, Ĵ 2 , ĵ 2 1 und ĵ 2 2 alle paarweise vertauschen:
[Ĵz , ĵ1]
2 =
[ĵ1z + ĵ 2z , ĵ1x 2 + ĵ1y 2 + ĵ1z]
2
=
[ĵ1z , ĵ1x 2 + ĵ1y 2 + ĵ1z]
2 =
[ĵ1z , ĵ1]
2 = 0 , (5.199)
[Ĵz , ĵ2]
2 = 0 , (5.200)
[Ĵ 2 , ĵ1]
2 =
[ĵ2 1 + ĵ2 2 + 2(ˆ⃗j 1 · ˆ⃗j 2 ), ĵ1]
2
]
]
]
]
=
[ĵ2 1 , ĵ1]
2 +
[ĵ2 2 , ĵ1
2 + 2
[ĵ1x ĵ 2x , ĵ1
2 + 2
[ĵ1y ĵ 2y , ĵ1
2 + 2
[ĵ1z ĵ 2z , ĵ1
2 = 0 , (5.201)
} {{ } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ }
0
0
0
0
0
[Ĵ 2 , ĵ2]
2 = 0 . (5.202)
Daraus können zwei Folgerungen gezogen werden:
Folgerung 1: Die Operatoren Ĵz, Ĵ 2 , ĵ1 2 und ĵ2 2 besitzen eine gemeinsame Basis von Eigenvektoren.
Folgerung 2: Die entsprechenden vier Observablen können gleichzeitig genau bestimmt werden.
Die gemeinsame Basis wird in Diracscher Schreibweise geschrieben:
|j 1 , j 2 , J, M〉 (gekoppelte Darstellung) . (5.203)
Es gibt eine alternative Basis, denn ĵ 2 1, ĵ 2 2, ĵ 1z und ĵ 2z vertauschen auch alle paarweise:
|j 1 , m 1 , j 2 , m 2 〉 = |j 1 , m 1 〉 |j 2 , m 2 〉 (ungekoppelte Darstellung) . (5.204)
Beide Sätze von Basisfunktionen spannen denselben Vektorraum auf. Sie sind durch eine unitäre
Transformation miteinander verknüpft:
|j 1 , j 2 , J, M〉 = ∑
c (j 1 , m 1 , j 2 , m 2 , J, M) |j
} {{ } 1 , m 1 , j 2 , m 2 〉 . (5.205)
j 1 ,m 1 ,j 2 ,m 2
Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Die Koeffizienten c(j 1 , m 1 , j 2 , m 2 , J, M) in dieser linearen Relation werden als Clebsch-Gordan-
Koeffizienten bezeichnet. Formeln zur Berechnung dieser Koeffizienten und numerische Werte
sind in Referenzbüchern tabelliert [siehe z.B. Zare (1988), Condon und Shortley (1935) oder
Landau und Lifschitz (1988)].
Aus den Vektoradditionsdiagrammen in den Abbildungen 5-13 und 5-14 sieht man leicht, dass
M = m 1 + m 2 . (5.206)
Der Wert von M folgt daher aus den Werten von m 1 und m 2 .
Vorlesungsskript PCIII