Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.3 Matrixdarstellung von Drehimpulsoperatoren 5-15
ausgedrückt werden.
Matrixdarstellung von Ĵz
Die Matrixelemente von Ĵz lauten
Matrixdarstellung von Ĵ 2
〈J ′ , M ′ | Ĵz |J, M〉 = M 〈J ′ , M ′ |J, M〉 = M δ
} {{ } } {{ }
J ′ ,Jδ M ′ ,M . (5.82)
M |J,M〉
δ J ′ ,J δ M ′ ,M
〈J ′ , M ′ | Ĵ 2 |J, M〉 = 2 J(J + 1) δ J ′ ,Jδ M ′ ,M . (5.83)
Matrixdarstellung von Ĵ+ und Ĵ−
Aus Abschnitt 5.2 wissen wir, dass
Also muss gelten
Ĵ + |J, M〉 = c + J,M
|J, M + 1〉 (5.84)
Ĵ − |J, M〉 = c − J,M
|J, M − 1〉 (5.85)
Ĵ − Ĵ + |J, M〉
} {{ }
c + J,M |J,M+1〉 = c + J,MĴ−|J, M + 1〉
Gemäss Gleichung (5.51) wissen wir aber, dass
= 2 c + J,M c− J,M+1
|J, M〉 . (5.86)
〈J ′ , M ′ |Ĵ−Ĵ+|J, M〉 = 2 c + J,M c− J,M+1 δ J,J ′ δ M,M ′ . (5.87)
Ĵ − Ĵ + = Ĵ 2 − Ĵ 2 z − Ĵz . (5.88)
Deshalb gilt für die Matrixelemente von Ĵ−Ĵ+
〈J ′ , M ′ |Ĵ−Ĵ+|J, M〉 = 〈J ′ , M ′ |Ĵ 2 − Ĵ 2 z − Ĵz|J, M〉
= 2 (J(J + 1) − M(M + 1)) 〈J ′ , M ′ |J, M〉 . (5.89)
Der Vergleich von (5.87) mit (5.89) ergibt (〈J ′ , M ′ |J, M〉 = δ J ′ ,Jδ M ′ ,M)
c + J,M c− J,M+1
= J(J + 1) − M(M + 1) . (5.90)
Um die Koeffizienten c + J,M und c− J,M zu bestimmen, zeigen wir zuerst, dass Ĵ− = (Ĵ+) † :
〈J, M|Ĵ−|J, M + 1〉 = 〈J, M|Ĵx − iĴy|J, M + 1〉 = 〈J, M|Ĵx|J, M + 1〉 − i〈J, M|Ĵy|J, M + 1〉
= 〈J, M + 1|Ĵx|J, M〉 ∗ − i 〈J, M + 1|Ĵy|J, M〉 ∗
{
∗
= 〈J, M + 1|Ĵx|J, M〉 + i 〈J, M + 1|Ĵy|J, M〉}
= 〈J, M + 1| Ĵ + |J, M〉 ∗ ,
(5.91)
Vorlesungsskript PCIII