Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5-12 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik
Diese zwei Gleichungen können, nach Multiplikation von links mit Ĵ− bzw. Ĵ + als
Ĵ − Ĵ + Ψ max = 0 (5.70)
)
=
(Ĵ 2 − Ĵ z 2 − Ĵz Ψ max
= 2 ( c − d 2 max − d max
)
Ψmax
und
Ĵ + Ĵ − Ψ min = 0 (5.71)
)
=
(Ĵ 2 − Ĵ z 2 + Ĵz Ψ min
= ( ) 2 c − d 2 min + d min Ψmin .
geschrieben werden. Aus den Gleichungen (5.70) und (5.71) erhält man
c = d max (d max + 1) c = d min (d min − 1)
und also
d max (d max + 1) = d min (d min − 1) . (5.72)
Gleichung (5.72) hat zwei Lösungen
d max = −d min und d max = d min − 1 ,
wobei die zweite Lösung nicht physikalisch ist, da d max d min sein muss. Zudem gilt
d max − d min = n n = 0, 1, 2, ....
Daraus folgt, dass
d max = n = J 2 mit J = 0, 1 /2, 1, 3 /2, ....
Somit sind die Lösungen der Eigenwertgleichungen (5.8) und (5.9)
Ĵ 2 Ψ JM = 2 J(J + 1) Ψ JM (5.73)
mit J = 0, 1 /2, 1, 3 /2, ... und
Ĵ z Ψ JM = M Ψ JM , (5.74)
mit M = −J, −J + 1, ..., J, wobei J die Drehimpulsquantenzahl und M die magnetische Quantenzahl
sind. Die Eigenfunktionen werden wie üblich mit den Quantenzahlen J und M indiziert.
Diese Lösungen sind den Lösungen des Bahndrehimpulsproblems (Gleichungen (5.34) und
(5.35)) sehr ähnlich. Die Bahndrehimpulsquantenzahlen l und m sind aber ganzzahlige Quantenzahlen,
während die Quantenzahlen J und M eines allgemeinen Drehimpulses ganz- oder
halbzahlig sein können. Aus der experimentell bestätigten Existenz von halbzahligen Drehimpulsen
lässt sich schliessen, dass es neben Bahn- und Rotationsdrehimpulsen noch einen anderen
Vorlesungsskript PCIII