Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

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5-40 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik im Grundzustand des Wasserstoffatoms (1s) 1 2 S1/2 durch den folgenden Hamilton-Operator charakterisiert: { }} { g e µ B Ĥ magn = − Ŝ z B } {{ } e − -Spin- Zeeman-WW γ − γ H Î z B } {{ } H + -Spin- Zeeman-WW + a ˆ⃗ S · ˆ⃗I } {{ } e − -Spin- H + -Spin-WW (Hyperfein-WW) . (5.220) Der erste Term entspricht der Elektronenspin-Zeeman-Wechselwirkung, der zweite der Kernspin- Zeeman-Wechselwirkung. Der Bahndrehimpuls kommt in (5.220) nicht vor, weil das Elektron in einem 1s-Orbital mit l = 0 ist. Der Term a ˆ⃗ S · ˆ⃗I stellt die magnetische Wechselwirkung zwischen dem Kern- und Elektronenspin dar: a ˆ⃗ S · ˆ⃗I = a [Ŝx Î x + ŜyÎy + ŜzÎz ] . (5.221) Diese Wechselwirkung ist schwach und wird als Hyperfeinwechselwirkung bezeichnet. Wenn der Term a ˆ⃗ S · ˆ⃗I klein ist im Vergleich zur Elektronenspin-Zeeman-Wechselwirkung (was im Grenzfall B → ∞ zutrifft), sind die Kernspin- und Elektronenspin-Drehimpulse nur schwach gekoppelt und es ist zweckmässig, in der ungekoppelten Darstellung |S, M S 〉|I, M I 〉 zu arbeiten. Im Fall des Wasserstoffatoms im (1s) 1 2 S1/2-Grundzustand lautet die Basis |S, M S 〉 |I, M I 〉 | 1 /2, 1/2〉 | 1 /2, 1/2〉 = |α α〉 | 1 /2, 1/2〉 | 1 /2, − 1 /2〉 = |α β〉 | 1 /2, − 1 /2〉 | 1 /2, 1/2〉 = |β α〉 | 1 /2, − 1 /2〉 | 1 /2, − 1 /2〉 = |β β〉 . (5.222) Die Matrix Ĥ kann wie folgt in dieser Basis aufgestellt werden: • ŜzÎz: Ŝ z |α α〉 = |α α〉 2 Ŝ z |α β〉 = |α β〉 2 Ŝ Ŝ z |β α〉 = − z = |β α〉 2 2 Ŝ z |β β〉 = − |β β〉 2 ⎛ ⎜ ⎝ Ŝ z |α α〉 |α β〉 |β α〉 |β β〉〈α α| 1 0 0 0 〈α β| 0 1 0 0 〈β α| 0 0 −1 0 〈β β| 0 0 0 −1 ⎞ ⎟ ⎠ = Ŝ(S) z ⊗ Ê(I) I = Ŝ( 1/2) z ⊗ Ê( 1/2) I = 2 ( 1 0 0 −1 ) ⊗ ( 1 0 0 1 ) (5.223) Gleichung (5.223) entspricht dem direkten Produkt Ŝ( 1/2) z ⊗ Ê( 1/2) I der Matrizen Ŝ( 1/2) z und Ê( 1/2) I . Ein direktes Produkt wird so berechnet, indem jedes Element der ersten Matrix (Ŝ( 1/2) z ) mit der gesamten zweiten Matrix multipliziert wird (siehe Anhang C, Abschnitt C.3.5). Vorlesungsskript PCIII
5.7 Die Addition von Drehimpulsen 5-41 Î z |α α〉 = |α α〉 2 Î z |α β〉 = − |α β〉 2 Î Î z |β α〉 = z = |β α〉 Ê( 1/2) 2 Î z |β β〉 = − |β β〉 2 = ⎜ 2 ⎝ S ⊗ Î( 1/2) z = 2 ⎛ ( 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 ) ⊗ ( 1 0 0 −1 0 0 0 −1 ⎛ 1 0 0 0 Ŝ z Î z = Ŝ( 1/2) z ⊗ Î( 1/2) z = 2 0 −1 0 0 ⎜ 4 ⎝ 0 0 −1 0 ⎞ ⎟ ⎠ 0 0 0 1 ) ⎞ ⎟ ⎠ (5.224) (5.225) Die Matrix für ŜzÎz kann auch als direktes Produkt der Matrizen Ŝ( 1/2) z und Î( 1/2) z bestimmt werden. • ŜxÎx: Ŝ x |α α〉 = 1 2 (Ŝ+ + Ŝ− ) |α α〉 = Ŝ− 2 |α α〉 = |β α〉 (5.226) 2 Ŝ x |α β〉 = |β β〉 (5.227) 2 Ŝ x |β α〉 = 1 ) (Ŝ+ + 2 Ŝ− |β α〉 = Ŝ+ 2 |β α〉 = |α α〉 (5.228) 2 Ŝ x |β β〉 = |α β〉 (5.229) 2 Ŝ x = Ŝ( 1/2) x ⊗ Ê( 1/2) I = 2 Î x = Ê( 1/2) S ⊗ Î( 1/2) x = 2 Ŝ x Î x = Ŝ( 1/2) x ⊗ Î( 1/2) x = 2 4 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ (5.230) (5.231) (5.232) Vorlesungsskript PCIII
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