Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.4 Die Rotation starrer Moleküle 5-19
geschrieben werden mit ⃗ R i · ⃗ω = X i ω X + Y i ω Y + Z i ω Z . Somit erhält man für die Komponenten
des Drehimpulsvektors J ⃗
[ ] [ ] [ ] ∑ ∑ ∑
J X = m i (Ri 2 − Xi 2 ) ω X − m i X i Y i ω Y − m i X i Z i ω Z , (5.117a)
i
i
i
[ ] [ ] [ ] ∑ ∑ ∑
J Y = − m i X i Y i ω X + m i (Ri 2 − Yi 2 ) ω Y − m i Y i Z i ω Z , (5.117b)
i
i
i
[ ] [ ] [ ]
∑ ∑ ∑
J Z = − m i X i Z i ω X − m i Y i Z i ω Y + m i (Ri 2 − Zi 2 ) ω Z . (5.117c)
i
i
i
mit R 2 i = X 2 i + Y 2
i
mit
+ Zi 2 . (5.117) in Matrixform ausgedrückt ergibt
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
J X I XX I XY I XZ ω X
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⃗J = I · ⃗ω = ⎝J Y ⎠ = ⎝I Y X I Y Y I Y Z ⎠ ⎝ω Y ⎠ (5.118)
J Z I ZX I ZY I ZZ ω Z
I jj = ∑ i
m i (R 2 i − R 2 ij) , (5.119)
I jk = − ∑ i
m i R ij R ik , (5.120)
wobei i den Index der Massenpunkte darstellt und R ij = X i , Y i , Z i for j = 1, 2, 3 respective,
und I den sogenannten Trägheitstensor darstellt. Fur die Energie gilt somit
⎡
⎤ ⎛ ⎞
E rot = 1 2 ⃗ωT I⃗ω = 1 I XX I XY I XZ ω X
2 (ω ⎢
⎥ ⎜ ⎟
X, ω Y , ω Z ) ⎣ I Y X I Y Y I Y Z ⎦ ⎝ ω Y ⎠ (5.121)
I ZX I ZY I ZZ
ω Z
Da der Trägheitstensor I reell und symmetrisch ist, kann das körperbezogene Koordinatensystem
(X,Y ,Z) durch eine unitäre Transformation (UT) in ein geeignetes Koordinatensystem
(das sogenannte Hauptachsensystem) überführt werden, in dem die Ausserdiagonalelemente des
Trägheitstensors (Ĩ) verschwinden (I−→Ĩ):
UT
⎡
⎤ ⎛ ⎞
E rot = 1 2 ⃗ωT Ĩ⃗ω = 1 Ĩ X 0 0 ˜ω X
2 (˜ω ⎢
⎥ ⎜ ⎟
X, ˜ω Y , ˜ω Z ) ⎣ 0 Ĩ Y 0 ⎦ ⎝ ˜ω Y ⎠ (5.122)
0 0 Ĩ Z ˜ω Z
oder
E rot = 1 2
˜J 2 X
Ĩ X
+ 1 2
˜J 2 Y
Ĩ Y
+ 1 2
˜J 2 Z
Ĩ Z
, (5.123)
wobei die sogenannten Hauptträgtheitsmomente ĨX, ĨY und ĨZ die Trägheitsmomente um die
Hauptachsen ˜X, Ỹ und ˜Z darstellen. Für den Rest dieses Kapitels werden wir das körperbezogene
Koordinatensystem (X,Y ,Z) jeweils so wählen, dass es ein Hauptachsensystem ist und
wir Gleichung (5.123) ohne Tilden schreiben können.
Vorlesungsskript PCIII