Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.1 Der Bahndrehimpuls 5-7
Folglich muss d ganzzahlig sein: d = 0, ±1, ±2, . . . Anstelle von d schreiben wir m (oder m l )
und erhalten die normierten Eigenfunktionen (siehe Übung 2)
Die Eigenwertgleichung für ˆl z ist also
T m (φ) = 1 √
2 π
e i m φ . (5.33)
ˆlz S(θ)T m (φ) = m S(θ)T m (φ) mit m = 0, ±1, ±2, . . . (5.34)
Die ganzzahlige Zahl m wird als magnetische Quantenzahl bezeichnet, und m sind die Eigenwerte
für die Projektion von ˆ⃗ l auf die z-Achse.
Gleichung (5.27) kann ebenfalls durch explizites Rechnen gelöst werden, allerdings in einem
aufwendigeren Prozess, auf den wir hier verzichten. Die Lösung des Eigenwertproblems lautet:
ˆl2 Y l,m (θ, φ) = 2 l (l + 1) Y l,m (θ, φ) , (5.35)
mit l = 0, 1, 2, ..., ∞ und m = 0, ±1, ±2, ..., ±l. Die Eigenfunktionen Y lm (θ, φ) sind die sogenannten
Kugelflächenfunktionen und haben die Form
wobei
Y l,m (θ, φ) = N l,m P |m|
l
(cos θ) exp {i m φ} , (5.36)
} {{ } } {{ }
S(θ)
T (φ)
N l,m =
√
(2l + 1)(l − |m|)!
4π(l + |m|)!
(5.37)
ein Normierungsfaktor darstellt. Wie üblich werden diese Eigenfunktionen mit ihren Quantenzahlen
(l und m) indiziert. l ist die Bahndrehimpulsquantenzahl und m die oben bereits
eingeführte magnetische Quantenzahl. Die Funktionen P |m|
l
(ξ) sind sogenannte zugeordnete
Legendre-Polynome, benannt nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre
(1752–1833), und sind durch i
P m
l (ξ) = (−1) m ( 1 − ξ 2) m 2
d m
dξ m P l(ξ) (0 m l) (5.38)
definiert, wobei P l (ξ) ein Legendre-Polynom darstellt:
P l (ξ) = 1
2 l l!
mit den expliziten Formeln
d l
dξ l (
ξ 2 − 1 ) l
(l = 0, 1, 2, . . . ; |ξ| 1) (5.39)
P 0 (x) = 1 P 0 (cos θ) = 1 (5.40a)
P 1 (x) = x P 1 (cos θ) = cos θ (5.40b)
P 2 (x) = 1 2 (3x2 − 1) P 2 (cos θ) = 1 (1 + 3 cos(2θ)) (5.40c)
4
P 3 (x) = 1 2 (5x3 − 3x) P 3 (cos θ) = 1 (3 cos θ + 5 cos(3θ)) . (5.40d)
8
i In der Literatur sind die Phasenfaktoren für die Kugelflächenfunktionen nicht einheitlich. So werden die
zugeordneten Legendre-Polynome [Gleichung (5.38)] auch ohne den Faktor (−1) m , der stattdessen (für m >
0) zur Normierungskonstante [Gleichung (5.37)] hinzugefügt wird, geschrieben. Eine ebenfalls oft verwendete
Definition finden Sie als Gleichung (4.29) im Skript ”
Allgemeine Chemie (Teil Physikalische Chemie)“.
Vorlesungsskript PCIII