Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.7 Die Addition von Drehimpulsen 5-37
Wir bestimmen jetzt die möglichen J-Werte anhand eines konkreten Beispiels:
}
j 1 = 1
Teilsystem 1:
drei Funktionen |j 1 m 1 〉
m 1 = −1, 0, 1
}
j 2 = 2
Teilsystem 2:
fünf Funktionen |j 2 m 2 〉
m 2 = −2, −1, 0, 1, 2
Der Vektorraum ist 15-dimensional ((2j 1 +1)×(2j 2 +1)). Es gibt deshalb 15 Basisfunktionen
|j 1 , m 1 , j 2 , m 2 〉 = |j 1 , m 1 〉|j 2 , m 2 〉 in der ungekoppelten Darstellung und demzufolge auch
15 Basisfunktionen |j 1 , j 2 , J, M〉 in der gekoppelten Darstellung.
In einer Tabelle bestimmen wir alle möglichen M-Werte, die aus den Werten von m 1 und
m 2 gemäss Gleichung (5.206) resultieren.
{ }} {
m 2
m 1
{ }} {
M −1 0 1
−2 −3 −2
−1
−1 −2 −1 0
0 −1 0 1
1 0 1 2
2 1 2 3
(5.207)
Man zählt in (5.207), wieviele Male die möglichen M-Werte vorkommen.
M −3 −2 −1 0 1 2 3
Anzahl Vorkommen 1 2 3 3 3 2 1
(5.208)
Der maximale M-Wert ist M max = 3. Da J M sein muss und ein Drehimpulsvektor
mit J > 3 auch M > 3 Projektionen haben muss, kann man schliessen, dass aus der
Addition von ˆ⃗j 1 und ˆ⃗j 2 auf jeden Fall J = 3 resultiert mit den möglichen M-Werten
(−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3). Wir streichen diese M-Werte aus der Tabelle (5.208) und erhalten
die Tabelle (5.209):
M −2 −1 0 1 2
Anzahl Vorkommen 1 2 2 2 1
(5.209)
Der maximale Wert der übriggebliebenen M-Werte ist M max ′ = 2 und daher ein Drehimpuls
mit J = 2 aus der Addition von ˆ⃗j 1 und ˆ⃗j 2 resultieren muss mit den möglichen M-Werten
(−2, −1, 0, 1, 2). Nach Elimination dieser Werte aus der Tabelle (5.209) erhält man die
Tabelle (5.210):
M −1 0 1
Anzahl Vorkommen 1 1 1
(5.210)
mit M ′′
max = 1, was J = 1 entspricht.
Vorlesungsskript PCIII