Kapitel 5 Drehimpulse in der Quantenmechanik

5.6 Drehimpulssysteme in Magnetfeldern 5-31
τ ist die Umlaufperiode des Elektrons, r der Bahnradius, m e die Elektronenmasse und A die
von der Bahn eingeschlossene Fläche. Da für den Strom
I = − e τ
(5.175)
gilt, wobei e die Elementarladung bezeichnet, folgt
⃗ l = −
2 m e
e
I A ⃗n } {{ }
⃗µ
Also ist das magnetische Moment proportional zum Bahndrehimpuls
. (5.176)
⃗µ = γ l
⃗ l (5.177)
und die Proportionalitätskonstante γ l wird als gyromagnetisches Verhältnis bezeichnet. Für ein
Elektron auf einer kreisförmigen Umlaufbahn ist gemäss (5.176)
mit dem Bohrschen Magneton µ B =
somit
γ l = −
e µ B
= g l
2 m e
e
2m e
(5.178)
und g l = −1. i Die klassische potentielle Energie ist
E pot = −⃗µ ⃗ B = −γ l
⃗ l · ⃗ B = −γl (l x B x + l y B y + l z B z ) . (5.179)
Die quantenmechanische Behandlung geht wie üblich vom Korrespondenzprinzip aus. Das magnetische
Moment ˆ⃗µ eines quantenmechanischen Systems wird durch einen Operator charakterisiert,
der proportional zum Drehimpuls ˆ⃗ J eines Systems ist gemäss
ˆ⃗µ J = γ J
ˆ⃗J . (5.180)
Das magnetische Moment ˆ⃗µ l , das von der Bahnbewegung eines Elektrons verursacht wird, kann
direkt aus (5.176) mittels Korrespondenzprinzip ermittelt werden:
ˆ⃗µ l = γ lˆ⃗l = −
e
2m e
ˆ⃗l = gl µ B
ˆ⃗l
. (5.181)
Das magnetische Moment ˆ⃗µ s , das vom Spin ˆ⃗s eines Elektrons verursacht wird, kann mit Hilfe
von (5.180) ermittelt werden:
ˆ⃗µ s = γ s ˆ⃗s . (5.182)
Der Proportionalitätsfaktor γ s beträgt g e
µ B
mit g e = −2.002 319 304 362 2(15).
Analog ist das magnetische Moment eines Kernspins
e
ˆ⃗I ˆ⃗µ = γ N
ˆ⃗I = gN
ˆ⃗I = gN µ N
2 m p , (5.183)
i Es ist zu beachten, dass die Vorzeichen der g-Faktoren für negativ geladene Teilchen gemäss der hier verwendeten
Konvention negativ sind. Einzelheiten dazu finden Sie bei J. M. Brown et al., ”
Remarks on the
sign of g factors in atomic and molecular Zeeman spectroscopy“, Mol. Phys. 98, 1597–1601 (2000).
Vorlesungsskript PCIII