PrÃ¼fungsaufgaben und MusterlÃ¶sungen bis einschl. H2012 - IAG ...

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Universität Stuttgart INSTITUT FÜR AERODYNAMIK UND GASDYNAMIK DIREKTOR: PROF. DR.-ING. SIEGFRIED WAGNER Prüfung Herbst 1996 2 /5 ... Flugzeug– und Flugkörperaerodynamik I – SS 2001 Prüfung Herbst 1996 Ein Tragflügel der Spannweite b werde durch eine gerade gebundene Wirbellinie ersetzt. Die Zirkulation des gebundenen Wirbels, der auf der y–Achse liegt, wird stückweise durch Geraden angenähert (siehe Skizze). Anströmgeschwindigkeit und freie Wirbel verlaufen parallel zur x–Achse. Γ Γ 2 Γ 1 −b/2 0 A B b/2 y a) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Stärke der abgehenden freien Wirbel über der Spannweitenkoordinate y. b) Berechnen Sie den Abwind w i (y), der von den zwischen den Punkten A und B abgehenden Wirbeln am Ort des gebundenen Wirbels induziert wird.
Prüfung Herbst 1996 3 /5 Prüfung Herbst 1996 4 /5 a) Die Stärke der abgehenden Wirbel ergibt sich aus dem Gradienten der gebundenen Zirkulation dΓ(y) dΓ(y) dy. DaΓ(y) abschnittsweise linear ist, ist der Gradient dy dy abschnittsweise konstant: −b/2 ∂Γ ∂y = dΓ dy b) Das Wirbelband, welches zwischen den Punkten A und B abgeht, induziert an einem Aufpunkt P(y) auf dem gebundenen Wirbel den Abwind w i (y): w i (y)= 1 4π y’ y A γ y ∫ ′ =y B A B b/2 y ′ =y A ∂Γ(y ′ ) ∂y ′ dy ′ y − y ′ (1) P Aufpunkt zur Berechnung von w i (y) B Liegt der Aufpunkt P(y) zwischen den Punkten A und B, so existiert eine Stelle y ′ = y und der Integrand in Gl. (1) wird singulär. Zur Berechnung der induzierten Abwindgeschwindigkeit ist dann die Ermittlung des Cauchy’schen Hauptwertes erforderlich. Der im Abschnitt [A,B] konstante Gradient der gebundenen Zirkulation entspricht der Stärke der flächenhaften Zirkulation γ des abgehenden Wirbelbandes. Somit gilt im Interfall [A,B]: γ = ∂Γ(y′ ) ∂y ′ = const. (2) b/2 y y,y’ – Induzierter Abwind, falls P außerhalb von [A,B]: Liegt der Aufpunkt P außerhalb des Intervalls [A,B], so liefert Gl. (2) in (1): y ∫ ′ =y B w i (y)= γ dy ′ 4π y − y ′ y ′ =y A = − γ 4π ln |y − y′ | ∣ = − γ 4π ln ∣ ∣∣∣ y − y B y B (3) y ∣ A ∣∣∣ y − y A Im Intervall [A,B] istγ negativ (siehe Skizze). Das Vorzeichen von w i wird somit vom Vorzeichen des Logarithmus bestimmt: ∣ y>y B >y A : ln y − y B ∣∣∣ ∣ < 0 ⇒ w i < 0 ̂= Aufwind y − y A ∣ (4) y 0 ̂= Abwind y − y A – Induzierter Abwind, falls P innerhalb von [A,B]: Liegt der Aufpunkt P innerhalb des Intervalls [A,B], so muß der Cauchy’sche Hauptwert ermittelt werden. Gl. (2) in (1) liefert w i (y)= γ 4π ∫ C dy′ y − y ′ y ′ =y B y ′ =y A ⎛ ⎞ = γ y ′ ∫=y−ε ∫ y B 4π lim ⎝ ...+ ... ⎠ ε→0 y ′ =y A y ′ =y+ε ( = γ y−ε ) y 4π lim B − ln |y − y ′ | ε→0 ∣ − ln |y − y ′ | (5) ∣ y A y+ε = − γ ( ) 4π lim y − (y − ε) y − y B ln +ln ε→0 y − y A y − (y + ε) = − γ ( 4π lim ln −ε(y − y ) B) ε→0 ε(y − y A ) = − γ 4π ln y B − y y − y A
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