Physikalisches Praktikum f¨ur Physiker - Physikalisches Institut
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Justierung<br />
GS<br />
GS<br />
Gitterspektrometer<br />
Q<br />
Kollimator<br />
Fernrohr<br />
Fadenkreuz<br />
Der äußere Fehler wird groß, wenn die Einzelmessungen stärker voneinander abweichen,<br />
als ihre Standardabweichungen erwarten lassen. Das kann verschiedene Ursache haben, z.B.<br />
falsche Fehlerangaben, Nichtvergleichbarkeit der Einzelmessungen durch Abhängigkeit von<br />
weiteren Größen, Korrelation der Messwerte oder bei Regressionsanalysen ein falsch angenommener<br />
physikalischer Zusammenhang und damit möglicherweise die Entdeckung neuer<br />
Physik. Letzteres ist allerdings in diesem Versuch recht unwahrscheinlich. Theoretisch ist<br />
der innere Fehler gleich dem äußeren Fehler.<br />
Um nicht einen falschen zu kleinen Gesamtfehler vorzutäuschen, wird als mittlerer Fehler<br />
eines gewogenen Mittels das Maximum des äußeren und inneren Fehlers genommen.<br />
Spalt<br />
Linse<br />
Gitter<br />
Objektiv<br />
Okular<br />
Abbildung GS.2: Strahlengang des Gitterspektrometers<br />
Fernrohr im Spiegel sieht, bzw. man bringt im Fernrohr das Fadenkreuz mit seinem<br />
Spiegelbild (Reflexion am Gitter) zur Deckung.<br />
Für die Messung empfiehlt sich folgendes Vorgehen: Zu jeder Ordnung wird der mittlere<br />
Winkel bestimmt. Um den Nullpunkt nicht separat messen zu müssen werden Werte aus<br />
gegenüberliegenden Ordnungen zusammengenommen (Mittelwertsbildung). Man erhält für<br />
jede Ordnung einen Winkel φ k mit ihrer Standardabweichung ∆φ k . Zu jeder Ordnung lassen<br />
sich vier Wellenlängen λ k mit Fehler ∆λ k aus der Fehlerfortpflanzung bestimmen. Für<br />
das endgültige Ergebnis werden die Wellenlängen der verschiedenen Ordnungen gewichtet<br />
gemittelt.<br />
Allgemein gilt für den gewichteten Mittelwert einer Messreihe mit n Werten x i und ihren<br />
Gewichten g i<br />
¯x =<br />
∑<br />
gi x i<br />
∑<br />
gi<br />
.<br />
(GS.6)<br />
Die Gewichte g i werden aus den Standardabweichungen σ i mittels g i = 1/σi 2 berechnet. Der<br />
innere Fehler des gewichteten Mittelwerts lautet<br />
√<br />
1<br />
σ int = ∑ .<br />
(GS.7)<br />
gi<br />
Der innere Fehler leitet sich nur aus den mitgegebenen Fehlern der Ursprungswerten her.<br />
Er ist immer kleiner oder gleich dem kleinsten Fehler eines Einzel-Messwertes. Vereinfacht<br />
ausgedrückt wird durch die Hinzunahme weiterer Messwerte das Ergebnis genauer.<br />
Der äußere Fehler des gewichteten Mittelwerts berechnet sich aus<br />
√ ∑<br />
gi (x i − ¯x)<br />
σ ext =<br />
2<br />
(n − 1) ∑ . (GS.8)<br />
g i<br />
85<br />
86
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