Physikalisches Praktikum f¨ur Physiker - Physikalisches Institut

Grundlagen
TR
TR
Transformator
zu
I 1 (t) = 1
ωL U 10 e (iωt+ϕ)
(TR.9)
mit der Phasenverschiebung ϕ = π . Der magnetische Fluss Φ ist dem Primärstrom direkt
2
proportional. So gilt z.B. für eine lange Spule der Länge l mit n Windungen und einem
Kern der relativen Permeabilität µ r und der Querschnittsfläche A, die von einem Strom I
durchflossen wird: ∫
Φ(t) = ⃗B dA ⃗ n 2
= µ 0 µ r AI(t) = LI(t)
l (TR.10)
Dieser Fluss durchsetzt auch die Sekundärspule und induziert in dieser die Spannung
U 2,ind (t) = −n 2
dΦ
dt .
(TR.11)
Daher ist das Verhältnis der Spannungen an den Kontakten der Sekundär- und Primärspulen,
das sogenannte Übersetzungsverhältnis (ü)
U 1 (t)
U 2,ind (t) = −U 10
U 20
= − n 1
n 2
(TR.12)
zeitlich konstant. Auch bei einem realen Transformator mit Streuverlusten ist das
Übersetzungsverhältnis konstant, jedoch nur näherungsweise gleich dem Verhältnis der Windungszahlen.
Beim unbelasteten Transformator fließt auf der Sekundärseite kein Strom, es wird also keine
Leistung abgegeben. Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist auf der
Primärseite ϕ = 90 o und daher wird nach TR.4 auch auf der Primärseite keine Leistung
verbraucht.
3.3. Ohmsche Belastung
auf der Primärseite ein Wirkstrom
I 1,eff cosϕ = U 2,effI 2,eff
U 1,eff
(TR.16)
fließen muss. Die Wirkströme transformieren sich demnach gerade umgekehrt wie die Spannungen.
I 1,eff cosϕ
= n 2
(TR.17)
I 2,eff n 1
Diese Tatsache lässt sich aber auch mit Hilfe des Induktionsgesetzes ableiten. Zunächst soll
ohne explizite Rechnung Gl. TR.17 plausibel gemacht werden. Fließt auf der Sekundärseite
ein Strom I 2 (t), so durchsetzt dieser die Spule und führt zu einem zusätzlichen Fluss
Φ 2 ∼ n 2 I 2 , der in der Primärspule zu einer Induktionsspannung U 1,ind ′ (t) führt. Soll nun,
wie in Aufgabe 2) gefordert, die Primärspannung konstant bleiben, so muss, da nach wie
vor die gesamte induzierte Spannung die angelegte Spannung kompensieren muss, auf der
Primärseite ein Wirkstrom fließen, dessen Fluss Φ 1 ∼ n 1 I 1 cosϕ den des Sekundärstroms
Φ 2 (t) kompensiert. Auf diese Weise ist der gesamte Fluss im Eisenkern unverändert und
damit auch die Primärspannung und es gilt die Gleichung TR.17.
Eine rechnerische Ableitung der Beziehungen am Transformator wird durch die Kirchhoffschen
Regeln gegeben. Für ein System zweier Spulen, von denen eine an eine Spannungsquelle
U 1 (t) angeschlossen ist, gelten die Beziehungen
U 1 (t) + U 1,ind (t) = U 1 (t) − L 1
dI 1 (t)
dt
U 2,ind (t) = −M dI 1(t)
dt
− L 2
dI 2 (t)
dt
− M dI 2(t)
dt
= R 1 I 1 (t)
= RI 2 (t) . (TR.18)
M ist die Gegeninduktivität, das ist die gegenseitige induktive Beeinflussung zweier Spulen.
Durch den Eisenkern wird beim Transformator diese Gegeninduktivität maximiert. Bei einer
harmonischen Primärspannung U 1 (t) = U 10 exp iωt wird diese Gleichung durch den Ansatz
I 1 (t) = I 10 exp (iωt − ϕ 1 ) und I 2 (t) = I 20 exp (iωt − ϕ 2 ) gelöst und es ist
Wird die Sekundärseite mit einem Widerstand R belastet, so fließt auf der Sekundärseite ein
Strom I 2 (t) in Phase mit der Spannung U 2 (t) und es muss gelten
I 2 (t) = U 2 (t)/R.
(TR.13)
Eine einfache Begründung, weshalb mit belastetem Sekundärkreis auch eine Phasenänderung
im Primärkreis einhergehen muss, liefert der Energiesatz. Auf der Sekundärseite
wird entsprechend Gl. TR.4 die Leistung
I 1 (t)
= I 2(t)
R + iωL 2 −iωM = U 1 (t)
(TR.19)
(R 1 + iωL 1 )(R + iωL 2 ) + ω 2 M 2
Für den unbelasteten (I 2 (t) = 0), idealen (R 1 = 0) Transformator ergibt Gl. TR.18 sofort
die Beziehung
U 10
= L 1
U 20 M = n 1
, (TR.20)
n 2
wobei für die letzte Identität die Gleichung TR.12 benutzt wurde. Bei gleich langen Spulen
um einen gemeinsamen Kern gilt (siehe Gl. TR.10)
P 2 = U 2,eff I 2,eff
verbraucht. Das heißt, dass bei optimalem Wirkungsgrad
(TR.14)
und damit für die Gegeninduktivität
L 1
= n2 1
, (TR.21)
L 2
n 2 2
η = P 2
P 1
= 1
(TR.15)
M = √ L 1 L 2 .
(TR.22)
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