¨Ubungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik

4 Sternstromparallaxe
Mit folgenden Abkürzungen kann man diese Gleichung auf eine recht übersichtliche
Form bringen. Mit
gilt dann:
ξ := V x
V z
(= cos A
tan D ) (4.17)
η := V y
(= sin A
V z tan D ) (4.18)
a := µ α sin δ cos δ cos α − µ δ sin α
b := µ α sin δ cos δ sin α + µ δ cos α
c := µ α cos 2 δ
(4.19)
=⇒ a ξ + b η − c = 0 (4.20)
a, b, c sind bekannt, ξ und η werden gesucht. Wir haben aber mit Gleichung
(4.20) leider nur eine Gleichung für zwei Unbekannte, die aber für jeden Stern
einzeln gilt.
Hier nutzen wir nun die Tatsache, daß wir viele Sterne zur Verfügung haben und
gehen mit der statistischen Methode der kleinsten Quadrate an dieses Problem
heran:
Bisher sind wir davon ausgegangen, daß sich alle Mitglieder des Sternhaufens
mit der gleichen Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen–nur dann treffen
sich die Projektionen aller scheinbaren Bahnen tatsächlich im Vertex (A,D). In
der Realität werden aber zufällig verteilte Abweichungen festzustellen sein. Das
bedeutet nichts weiter, als daß die rechte Seite von Gleichung (4.20):
q := aξ + bη − c im allgemeinen ungleich Null sein wird.
Die wahrscheinlichsten Werte von ξ und η erhält man, indem man die Summe Q
der quadratischen Abweichungen q i
n∑
Q = qi 2 (4.21)
minimiert. Es muß dann gelten:
∂Q
∂ξ
i=1
= 0 und
∂Q
∂η = 0 (4.22)
Die Differentiation von (4.22) führt auf folgende Bedingungsgleichungen:
[aa] ξ + [ab] η = [ac]
[ba] ξ + [bb] η = [bc] (4.23)
wobei die eckigen Klammern jeweils für die Summen stehen:
n∑
[xy] := x i y i
i=1
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