¨Ubungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik

Zentrum für Astronomie und Astrophysik 

TU Berlin 

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10623 Berlin 

Übungen zur Einführung in die 

Astronomie und Astrophysik

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Copyright 2002 

Titelbild copyright by Uli Stein

Inhaltsverzeichnis 

0 Allgemeines 5 

0.1 Scheinkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

0.2 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1 Beobachtungen am Teleskop 7 

1.1 Astronomische Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1.1 Horizontsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1.2 Äquatorsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.1.3 Bemerkungen zu Winkeleinheiten . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.1.4 Koordinatenänderung durch Präzession . . . . . . . . . . . 11 

1.2 Astronomische Zeitsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.2.1 Berechnung der Ortssternzeit . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.3 Nautisches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.4 Durchführung der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.5 Anhang: Sphärische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2 Brennweitenbestimmung 21 

2.1 Grundlagen — Theorie der Teleskope . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.1.1 Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.2 Optische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.3 Einheiten von Winkel und Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.4 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3 Bestimmung der Bahnelemente visueller Doppelsterne 27 

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.2.1 Mechanische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.2.2 Bahnelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.3 Die graphische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.4 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

3.4.1 Bestimmung der Umlaufszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.4.2 Bestimmung der Massensumme des Systems . . . . . . . . 33 

4 Sternstromparallaxe 35 

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4.2 Die Sternstromparallaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4.3 Vertexbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.4 Genauigkeit der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.5 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

Übungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik 3

Inhaltsverzeichnis 

5 Spektralklassifikation 43 

5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

5.1.1 Spektralklassifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

5.2 Grundlagen: Was ist Strahlung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.2.1 Schwarzkörperstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

5.2.2 Elektromagnetische Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

5.3 Klassifikationskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

5.4 Durchführung der Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

5.5 Einige der wichtigsten Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

6 Entfernung und Alter offener Sternhaufen 51 

6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

6.2 Das Hertzsprung-Russell Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

6.2.1 Das Hauptreihenstadium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

6.2.2 Das Riesenstadium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

6.2.3 Weiße Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

6.3 Beobachtungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

6.3.1 Das Farben-Helligkeits-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . 54 

6.3.2 Der Farbindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

6.3.3 Das Farben-Farben-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

6.3.4 Die interstellare Verfärbung . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

6.4 Photometrische Entfernungsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . 55 

6.5 Altersbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

6.6 Durchführung der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

6.7 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

6.7.1 Helligkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

6.7.2 Bemerkungen zur Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . 58 

4 Übungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik

0 

Allgemeines 

Scheinkriterien 0.1 

Das Fach Astronomie und Astrophysik kann als prüfbares Wahlpflichtfach im 

Vordiplom gewählt werden. Zur Prüfungsanmeldung muß beim Prüfungsamt ein 

Übungsschein vorgelegt werden. Dieser wird ausgestellt, wenn die folgenden Lehrveranstaltungen 

nachweislich (und erfolgreich) besucht wurden: 

1. VL Einführung in die Astronomie und Astrophysik I (2 SWS) 

2. VL Einführung in die Astronomie und Astrophysik II (2 SWS) 

3. UE zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik (2 SWS) 

Der Besuch beider Vorlesungen ist durch Eintrag im Studienbuch nachzuweisen. 

Die erfolgreiche Teilnahme an der Übung umfasst die Bearbeitung aller sechs in 

diesem Skript beschriebenen Aufgaben und die Abgabe jeweils eines Protokolls 

zu jeder dieser Aufgaben. Die Bearbeitung der Übungsaufgaben erfolgt in Zweiergruppen, 

für die Bearbeitung jeder Aufgabe stehen zwei Übungstermine zur 

Verfügung. 

Es besteht Anwesenheitspflicht für alle 12 Übungstermine! 

Der jeweils erste Termin zu jeder Aufgabe dient der (theoretischen) Einführung 

in das Thema der entsprechenden Aufgabe. Als Grundlage hierzu ist vor diesem 

Termin der entsprechende Teil des Skriptes zu lesen! Den Übungsteilnehmern wird 

darüberhinaus dringend die Lektüre der zu jeder Aufgabe angegebenen Literatur 

empfohlen. 

Die Abgabe der Protokolle erfolgt jeweils spätestens am ersten Übungstermin zur 

Bearbeitung der folgenden Aufgabe. 

Zu jeder Übung sind mitzubringen: 

Schreibmaterial, Lineal, Taschenrechner(!) 

Es wird dringend empfohlen, vor dem Besuch der Übung zumindest die Vorlesung 

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I zu hören. 


0 Allgemeines 

0.2 

Literatur 

1. H.H. Voigt: Abriß der Astronomie, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1980 

(3. Auflage) 

2. F. Becker: Einführung in die Astronomie, BI Hochschultaschenbücher, 

Mannheim, 1966 (5. Auflage) 

3. F. Gondolatsch, G. Groschopf, O. Zimmermann: Astronomie I, II, Klett 

Studienbücher, Stuttgart, 1978 (1. Auflage) 

4. A. Unsöld, B. Baschek: Der neue Kosmos, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 

New York, 1991 (5. Auflage) 

5. H. Scheffler, H. Elsässer: Physik der Sterne und der Sonne, BI Wissenschaftsverlag, 

Mannheim, 1990 (2. Auflage) 

6. H.Karttunen, P.Kröger, H.Oja, M.Poutanen, K.J.Donner (Hrsg.): Astronomie 

— Eine Einführung, Springer Verlag Berlin , Heidelberg 1990 

7. F.H. Shu The Physical Universe – An Introduction to Astronomy, University 

Science Books, Mill Valley, California 

8. A. Weigert und H.J. Wendker Astronomie und Astrophysik – Ein Grundkurs 

Physikverlag Weinheim (2. Auflage) 

9. J. Krautter, E. Sedlmayr, K.Schaifers, G.Traving Meyers Handbuch Weltall, 

Meyers Lexikonverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich, 1994 (7.Auflage) 

10. versch. Autoren: Brockhaus, Mensch, Natur, Technik, F.A. Brockhaus GmbH, 

Leipzig, Mannheim, 1999 


1 

Beobachtungen am Teleskop 

Aufgabe: 

Material: 

Literatur: 

Aus den äquatorialen Koordinaten eines Sterns werden mit Hilfe der Präzessionskorrektur 

die zum Zeitpunkt der Beobachtung gültigen Koordinaten einiger 

Objekte (Sterne, Planeten, Mond,. . . ) im Horizontsystem bestimmt. Aus der 

Berechnung der augenblicklichen Sternzeit ergibt sich der Stundenwinkel des 

Objekts. Die Berechnung der Höhe ergibt, ob das Objekt beobachtbar ist. Nach 

Einstellen der Koordinaten am Fernrohr sollte das Objekt im Sucher-Refraktor 

sichtbar sein. 

Catalogue of Bright Stars, Astronomical Almanac, Taschenrechner. 

[1] Kap. I 

[2] Kap. A, §§ 2, 5 

F. Becker, Grundriß der sphärischen und praktischen Astronomie, Dümmler 

Verlag (1934), Kap. 1, 2A 

Astronomische Koordinatensysteme 1.1 

Koordinatensysteme dienen in der Astronomie zur Festlegung der Position von 

Gestirnen an der Himmelsphäre (die Entfernung spielt hier keine Rolle). Sie sind 

jeweils durch eine Grundebene und zwei Pole bestimmt und weisen damit verschiedene 

Großkreise (kürzeste Verbindung auf der Kugeloberfläche) auf. Daraus 

ergeben sich jeweils zwei Koordinaten: der Winkelabstand a) von der zugehörigen 

Grundebene und b) von einem festzulegenden Null-Längenkreis. Die Längenkreise 

werden auch Meridiane genannt. Für die Beobachtung sind im wesentlichen 

drei verschiedene Koordinatensysteme von Bedeutung: das Horizontsystem, sowie 

das feste und das bewegliche Äquatorsystem. 

Horizontsystem 1.1.1 

Das Horizontsystem ist das natürliche System vom Standpunkt des Beobachters 

aus (siehe Abbildung 1.1). Die Grundebene ist durch den Horizont gegeben. Als 

Längenkreise dieses Systems gelten die Großkreise durch den Zenit (das ist der 

Punkt senkrecht über dem Beobachter). Damit ist die Sternposition festgelegt 

durch die Angabe von Höhe h oder Zenitdistanz z, wobei z = 90 ◦ − h (h von 

+90 ◦ bis −90 ◦ , z von 90 ◦ − 180 ◦ ) und Azimut A (von 0 − 360 ◦ ). Ausgezeichnete 

Punkte sind: 


1 Beobachtungen am Teleskop 

Abbildung 1.1: Horizontsystem; es steht G für Gestirn, B für Beobachter 

Zenit: h = +90 ◦ A beliebig 

Nadir: h = −90 ◦ A beliebig 

Südpunkt: h = 0 ◦ A = 0 ◦ 

Dieses Koordinatensystem ist abhängig vom Standpunkt des Beobachters. Darüber 

hinaus ändern sich die Koordinaten von Himmelskörpern laufend durch deren 

scheinbare Bewegung – verursacht durch die Erddrehung. 

1.1.2 

Äquatorsystem 

Zenit 

Nordpol 

* 

Stern 

Süden 

90°- ϕ 

τ 

δ 

Äquator 

Meridian 

Abbildung 1.2: Festes Äquatorsystem 


1.1 Astronomische Koordinatensysteme 

Dieses Koordinatensystem stellt eine Projektion des Erdnetzes vom Erdmittelpunkt 

aus an den Himmel dar. Dabei unterscheidet man zwischen einem beweglichen 

und einem festen Äquatorsystem. Dabei wird das bewegliche zum Katalogisieren 

und das (orts-)feste zur Beobachtung am Fernrohr gewählt. Die Grundebene 

wird bei beiden durch die Äquatorebene der Erde festgelegt (Himmelsäquator). 

Beim festen Äquatorsystem wird der Null-Längenkreis durch die Verbindungslinie 

Pol-Zenit-Südpunkt beschrieben. Die Sternposition ist dann festgelegt durch die 

Angabe der sog. Deklination δ und des Stundenwinkels τ (in der Literatur oft mit 

t bezeichnet): 

Deklination δ: Höhe des Sterns über der Äquatorebene (gemessen in ◦ , ′ , ′′ ), Wertebereich 

−90 ◦ ≤ δ ≤ +90 ◦ . 

Stundenwinkel τ: der Winkel zwischen dem Stundenkreis oder Deklinationskreis 

eines Gestirns und dem Meridian eines Beobachtungsortes, d.h. τ durchläuft 

infolge der Erdrotation im Laufe eines Tages alle Werte (nimmt zu analog 

zur Ortszeit), während δ unverändert bleibt. Wegen dieses Umlaufs wird 

τ meist nicht in Gradmaß, sondern im Zeitmaß in h, m, s gemessen (von 

0 − 24h). Ausgezeichnete Punkte sind: 

Himmelsnordpol: τ beliebig δ = +90 ◦ 

Himmelssüdpol: τ beliebig δ = −90 ◦ 

Nordpol 

* 

Stern 

α 

δ 

Äquator 

Frühlingspunkt 

Abbildung 1.3: Bewegliches Äquatorsystem 

Im beweglichen Äquatorsystem stellt der Himmelsäquator wie beim festen System 

die Grundebene dar. Der Stundenkreis durch den Frühlingspunkt γ definiert hier 

den Null-Längenkreis. Die Koordinaten eines Sterns sind durch Deklination δ und 

Rektaszension α gegeben: 



Deklination δ: Höhe des Sterns über der Äquatorebene (gemessen in ◦ , ′ , ′′ ), Wertebereich 

−90 ◦ ≤ δ ≤ +90 ◦ . 

Rektaszension α: Bogenabstand vom Frühlingspunkt γ zum Schnittpunkt des 

Großkreises durch Stern und Himmelspol mit dem Äquator (gemessen in h, 

m, s), Wertebereich 0 h ≤ α ≤ 24 h , Zählweise entgegen dem Uhrzeigersinn 

entlang des Äquators. 

Himmelspole: α beliebig δ = ±90 ◦ 

Frühlingspunkt γ: α = 0 h δ = 0 ◦ . 

Unter dem Frühlingspunkt versteht man den Ort der Sonne zu Frühlingsbeginn, 

d.h. den Schnittpunkt der scheinbaren Sonnenbahn mit dem Äquator. 

Den Zusammenhang zwischen dem festen und dem beweglichen Äquatorsystem 

ist durch die Sternzeit Θ gegeben, die den Stundenwinkel des Frühlingspunktes 

γ darstellt: Θ = τ γ . Allgemein gilt für den Stundenwinkel τ eines Objektes mit 

der Rektaszension α bei einer gegebenen Sternzeit Θ (siehe Abb. 1.4): 

τ = Θ − α. 

Abbildung 1.4: 

1.1.3 

Bemerkungen zu Winkeleinheiten 

Unglücklicherweise hat es sich in der Astronomie eingebürgert, verschiedene Winkel 

in verschieden Einheiten zu messen. Die üblichen Maße sind: 

• Gradmaß: Der Vollkreis wird in 360 ◦ unterteilt, 

1 ◦ wird in 60 ′ (sprich: Bogenminuten) unterteilt, 

1 ′ wird wiederum in 60 ′′ (sprich: Bogensekunden) unterteilt. 

Manche Taschenrechner unterstützen die Darstellung in Bogenminuten/sekunden 

nicht. In diesem Fall muß man den Winkel in Dezimalgrad umwandeln: 


1.1 Astronomische Koordinatensysteme 

Winkel in Dezimalgrad = Grad + Bogenminuten 

60 

+ Bogensekunden 

3600 

. 

Bsp. : 13, 345 ◦ = 13 ◦ 20 ′ 42 ′′ = (13 + 20 

60 + 42 

3600 )◦ 

Höhe h und Zenitdistanz z im Horizontsystem, sowie die Deklination 

δ in den Äquatorsystemen werden im Gradmaß gemessen! 

• Stundenmaß: Der Vollkreis wird in 24 h (Stunden) unterteilt, 

1 h wird in 60 m (Minuten) unterteilt, 

1 m wird in 60 s (Sekunden) unterteilt. 

Die meisten Taschenrechner unterstützen dieses Format leider nicht. Deshalb 

bietet es sich an die Darstellung im Stundenmaß (h,m,s) auch wieder 

in Dezimalgrad umzurechnen: 

Winkel in Dezimalgrad = 15*(Stunden + Minuten + Sekunden ). 

60 3600 

Bsp. : 13, 345 ◦ = 15 ∗ (0 + 53 

60 + 22.8 

3600 )◦ = 0h53m22.8s 

Der Azimut A im Horizontsystem, sowie der Stundenwinkel τ und 

die Rektaszension α in den Äquatorsystemen werden im Stundenmaß 

gemessen! 

Koordinatenänderung durch Präzession 1.1.4 

Die Anziehung des Erdellipsoids durch Sonne und Mond verursacht eine Verlagerung 

der Rotationsachse der Erde und damit des Äquators, der die Grundebene 

unseres Koordinatensystems definiert (Lunisolarpräzession). Weiterhin verändert 

der Einfluß der Planeten auf die Bahnbewegung der Erde die Lage der Ekliptik, 

die Hauptebene des Sonnensystems, wodurch sich der Frühlingspunkt ebenfalls 

verschiebt (d.h. die Rektaszension eines Objekts nimmt ständig zu). Unter den 

Bezeichnungen Präzession und Nutation faßt man alle Bewegungen der Erde 

zusammen, die dieser durch äußere Kräfte aufgezwungen werden. Diese Kräfte 

versuchen, die Rotationsachse der Erde aufzurichten, die gegen die Ekliptik geneigt 

ist. Die Rotationsachse folgt, entsprechend dem Verhalten eines sogenannten 

schweren Kreisels, diesem Drehmoment nicht, sondern bewegt sich auf einer 

Kegelfläche um den Pol der Ekliptik. Diese Drehung im Uhrzeigersinn entlang 

der Kegelfläche wird als Präzessionsbewegung bezeichnet und dauert etwa 25800 

Jahre. Überlagerungen der Gravitationskräfte von Sonne und Mond verursachen 

Schwankungen dieser Drehbewegung mit einer Periode von 19 Jahren, die man 

als Nutation bezeichnet. 

Die jährliche Bewegung des Frühlingspunktes auf der Ekliptik beträgt 

∆γ = n sin ɛ 0 + m cos ɛ 0 ≈ 50 ′′ . 

Hierbei ist ɛ 0 die Schiefe der Ekliptik ,d.h. der Winkel zwischen Bahnebene und 

Äquator, und n die Komponente der Bewegung des Frühlingspunktes γ senkrecht 



zum Äquator, m die Komponente parallel zum Äquator. Die augenblicklichen 

Werte dieser Größen sind: 

ɛ 0 = 23.5 ◦ 

m = 46 ′′ /Jahr 

n = 20 ′′ /Jahr . 

Mit Hilfe von geometrischen Überlegungen kann man die Auswirkungen dieser 

Bewegung auf die Koordinaten α, δ eines Objektes berechnen. Man erhält für die 

jährlichen Koordinatenänderungen näherungsweise: 

∆α = m + n tan δ sin α (1.1) 

∆δ = n cos α . (1.2) 

1.2 

Astronomische Zeitsysteme 

Die örtliche Sonnenzeit ist durch den Meridiandurchgang der Sonne im Norden 

definiert. Ihre Einheit ist der wahre Sonnentag. Er ist der Zeitraum zwischen 

zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen der Sonne durch den Meridian im Norden 

(untere Kulmination). Da sich der wahre Sonnentag durch die veränderliche 

Bahngeschwindigkeit der Erde im Laufe eines Jahres (s. Abb. 1.5) ständig ändert, 

hat man den mittleren Sonnentag eingeführt, dem man eine fiktive sich im 

Jahresverlauf gleichmäßig auf dem Himmelsäquator bewegende Sonne zugrunde 

legt. 

Abbildung 1.5: Die Sonne wandert im Laufe eines Jahres mit unterschiedlicher 

Geschwindigkeit am Himmel (am schnellsten im Perihel, am langsamsten 

im Aphel). 

Die Grundlage astronomischer Zeitsysteme ist die Greenwich mean solar time 

(GMT) oder auch Weltzeit (Universal Time (UT)) für die geographische 

Länge λ G = 0 ◦ 

Unter der Zonenzeit versteht man die Einheitszeit für die zwischen zwei Meridianen 

gelegenen Orte der Erdoberfläche, wobei für jede Zeitzone die mittlere 

Sonnenzeit ihres Mittelmeridians als Zonenzeit gilt. Die Einteilung ist so 


1.2 Astronomische Zeitsysteme 

gewählt, daß diese jeweils um volle Stunden von der Weltzeit(Greenwich-Zeit) 

abweicht. 

Abbildung 1.6: Zeitzonen: . Auf der obigen Abbildung erkennt man die unterschiedlichen 

Zeitzonen der Welt. 

Abbildung 1.7: Unter Kulmination versteht man den Durchgang eines Gestirns 

durch den Längenkreis oder Meridian des Beobachtungsortes. 

Man unterscheidet obere Kulmination (größte Höhe, d.h. τ = 0) 

und untere Kulmination (unter dem Horizont, mit Ausnahme der 

Zirkumpolarsterne, die hierbei ihren tiefsten Stand über dem Horizont 

erreichen; d.h. τ = 12h). 

Die Sternzeit ist eine durch die Erdrotation bedingte Zeiteinteilung mit dem 

Sterntag als Einheit und setzt sich additiv aus der Rektaszension und dem Stun- 



denwinkel eines Gestirns zusammen (s.o.). Ein Sterntag ist der Zeitraum zwischen 

zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Frühlingspunktes oder ein und 

desselben Sterns durch den Meridian (obere Kulmination). Er umfaßt 23 h 56 m und 

4, 091 s mittlere Sonnenzeit. D.h. der Sonnentag ist etwas länger als der Sterntag 

(s. Abb. 1.6), da sich die Sonne an der Himmelssphäre pro Tag etwa um 1 Grad 

(aufgrund der Bahnbewegung der Erde) in östlicher Richtung verschiebt. 

Erdbahn 

Erde 

zur Zeit t 

Sonne 

3 m s 

56, 555 

Erde 

h 

24 Sternzeit nach t 

Abbildung 1.8: Sternzeit: Aufgrund der Erdbewegung um die Sonne hat die Erde, 

wenn sie bzgl. des Fixsternhimmels wieder dieselbe Position 

einnimmt, nicht mehr dieselbe Position zur Sonne, sondern muß 

sich erst noch um 3 m 56, 555 s weiterdrehen. 

1.2.1 

Berechnung der Ortssternzeit 

Die Ortssternzeit gibt die Sternzeit zu einer bestimmten Sonnen– bzw. Zonenzeit 

an einem bestimmten Ort an. Für die Berechnung seien die folgenden Bezeichnungen 

vereinbart: 

λ G , λ B geographische Länge in Greenwich und am Beobachtungsort. 

△T Zeitzonenunterschied zwischen den betrachteten Längen λ G (Greenwich) 

und λ B (Beobachtungsort). 

Θ(λ, t) Ortssternzeit zur Zonenzeit t an einem Ort der geographischen 

Länge λ. Die Einheit ist 1 h Sternzeit. 

Weiterhin benötigen wir noch 

1 h Sonnenzeit = 1.00274 h Sternzeit (1.3) 

und Θ(λ G , 0 h UT ), deren Wert als Greenwich Mean Sidereal Time (GMST) für 

jeden Tag im Astronomical Almanac (oder Ahnert: Kalender für Sternfreunde) 

tabelliert ist. 


1.3 Nautisches Dreieck 

Die Ortssternzeit an einem beliebigem Ort zu einem beliebigem Zeitpunkt erhält 

man dann durch hinzufügen einer Ortskorrektur λ[◦ ] 

B 

und einer Zeitkorrektur (t + 

15 ◦ 

△T ) · 1.00274: 

] 

Θ(λ B , t) = Θ(λ G , 0 h UT ) + λ[◦ B 

+ (t + △T ) · 1.00274 (1.4) 

15◦ Nautisches Dreieck 1.3 

Nordpol 

o 

90 - 

τ 

φ 

Zenit 

90°- 

δ 

Stern 

δ 

z 

Äquator 

τ 

Abbildung 1.9: Nautisches Dreieck 

Um diesen Abschnitt zu verstehen sollte man vorher den Abschnitt 1.5 über 

sphärische Trigonometrie lesen! 

Zur Koordinatentransformation vom Horizont- in das entsprechende Äquatorsystem, 

sowie für die Berechnung der Auf- und Untergangszeiten, etc. benutzt man 

das Nautische oder astronomische Dreieck (s. Abb. 1.9). Es wird gebildet aus 

den drei Punkten Himmelspol, Zenit und Objekt. Die Seiten mit den Längen 

(90 ◦ − δ), (90 ◦ − ϕ) und z (ϕ = geographische Breite = Polhöhe, z (= 90 ◦ − h) = 

Zenitdistanz), bilden ein sphärisches Dreieck. Der Seitenkosinussatz ergibt dann: 

sin h = cos z = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos τ . (1.5) 

Das ist eine Beziehung zwischen den horizontbezogenen Größen h (bzw. z), ϕ und 

den äquatorbezogenen Größen δ und τ. Wir können also bei gegebenen ϕ, δ, τ die 

Höhe eines Objektes berechnen oder umgekehrt den Stundenwinkel zum Zeitpunkt 

des Auf- oder Unterganges des Objektes (h = 0). 



1.4 

Durchführung der Aufgaben 

Abbildung 1.10: Verlauf von Sinus und Cosinus in den vier Quadranten 

1. Berechnung der Präzessionskorrekturen: 

Berechne die Präzessionskorrekturen im beweglichen Äquatorsystem für die 

Rektaszension α und die Deklination δ zum Zeitpunkt t der geplanten Beobachtung: 

∆α(t) = ( 46′′ 

a + 20′′ 

a tan δ sin α)(t − t Äq ) 

∆δ(t) = ( 20′′ 

a cos α)(t − t Äq ) 

Dabei ist tÄq der Zeitpunkt des Äquinoktikums für das die Koordinaten 

angegeben sind. Beachte: Die Zeiten sind hier in Jahren einzusetzen, das 

Ergebnis liefert beide Präzessionskorrekturen in Bogensekunden, d.h. es muß 

noch in die entsprechende Einheit für die Deklination/Rektaszension umgerechnet 

werden! 

Warum muß für die Objekte aus dem Sonnensystem keine Präzessionskorrektur 

berechnet werden? 

2. Berechnung der Ortssternzeit: 

Berechne die Ortssternzeit Θ(λ B , t) für den Physikneubau zum Zeitpunkt t 

der geplanten Beobachtung: 

] 

Θ(λ B , t) = Θ(λ G , 0 h UT ) + λ[◦ B 

+ (t + ∆T ) · 1.00274. (1.6) 

15◦ Hier sind die Zeiten in Stunden einzusetzen! Die genaue geographische Lage 

des Physik-Neubaus ist: λ B = +13 ◦ 19 ′ 35 ′′ , ϕ B = +52 ◦ 30 ′ 46.8 ′′ . 

Der Zeitzonenunterschied beträgt △T = UT − MEZ = −1 h im Winter 

und △T = UT − MESZ = −2 h im Sommer (MEZ: Mitteleuropäische Zeit, 

MESZ: Mitteleuropäische Sommerzeit). 


1.4 Durchführung der Aufgaben 

3. Berechnung der Stundenwinkel:(festes Äquatorsystem) 

Berechne alle Stundenwinkel τ = Θ(λ B , t) − α(t)! 

4. Berechnung der Koordinaten im Horizontsystem: 

Die Höhe eines Objekts im Horizontsystem läßt mit Hilfe des nautischen 

Dreiecks bestimmen: 

sin h = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos τ 

Zur Berechnung des Azimuts benötigt man die folgenden beiden Formeln 

(welchen Fundamental-Formeln der sphärischen Trigonometrie entspringen 

sie?): 

cos ϕ sin δ − sin ϕ cos δ cos τ 

cos A = − ; 

cos h 

cos δ sin τ 

sin A = . 

cos h 

Der richtige Azimut-Wert erfüllt beide Gleichungen. 

Dabei tritt das Problem auf, daß die Wertebereiche der Arcus-Sinus-Funktion 

[−90 ◦ , +90 ◦ ] bzw. der Arcus-Cosinus-Funktion [0 ◦ , 180 ◦ ] sind, während der 

Azimut A von 0 ◦ bis 360 ◦ läuft. Um den tatsächlichen Azimut-Wert A zu 

bestimmen, berechnet man am besten zuerst nur die Werte von sin A und 

cos A — d.h. man bildet zunächst nicht den Arcus-Sinus/Cosinus — und 

kann dann anhand des Vorzeichens von sin A und cos A den richtigen Quadranten 

von A bestimmen (s. Abb. 1.10). Danach kann man den Arcus-Sinus 

bzw. den Arcus-Cosinus bilden und mit Hilfe von sin α = sin(180 ◦ − α) und 

cos α = cos(−α) in den richtigen Quadranten “verschieben”. 

5. Berechnung der Kulminationen: 

Berechne Höhe (s.o.) und Zeitpunkt (Zonenzeit) der oberen (τ = 0) und 

unteren (τ = 12h) Kulminationen. Der Zeitpunkt t läßt sich durch umstellen 

von Gl. (1.6) berechnen: 

t h = τ + α − Θ(λ G, 0 h UT ) + λ[◦ ] 

B 

15 ◦ 

1.00274 

− △T . (1.7) 

6. Berechnung der Auf- und Untergangszeiten: 

Berechne die Auf- und Untergangszeiten (Zonenzeit) aller Objekte. Durch 

umstellen von Gl. (1.5) mit h = 0 erhält man: 

cos τ 0 = − tan ϕ · tan δ 

Diese Gleichung hat 2 Lösungen für τ 0 , welche davon dem Aufgang und 

welche dem Untergang entspricht, entscheidet man durch Vergleich mit den 

Kulminationen. Anschließend müssen die Sternzeiten noch mit Gl. 1.7 in 

die Ortszeit umgerechnet werden. 

7. Nachtbeobachtung am Fernrohr: freiwillig und wetterabhängig! 



1.5 

Anhang: Sphärische Trigonometrie 

Die sphärische Trigonometrie behandelt die Geometrie auf einer Kugeloberfläche. 

Dabei gilt folgender Leitsatz: 

An der Stelle der Geraden, Elemente der Ebene, treten die Großkreise, Elemente 

der Sphäre. 

Definition: Großkreis 

Sind A und B Punkte auf der Sphäre mit dem Radius R, kurz S R genannt, dann 

erhält man den Großkreis durch A und B, indem man die Ebene durch A,B und 

dem Kugelmittelpunkt M in der Sphäre S R bildet. 

S R 

Abbildung 1.11: Großkreis 

M 

PSfrag replacements 

A 

B 

Definition: Winkelmessung und Längenmessung 

Schneiden sich zwei Großkreise in dem Punkt A, dann ist der Winkel zwischen 

ihnen gleich dem Winkel zwischen den Tangenten der Großkreise im Punkt A. 

In der sphärischen Trigonometrie werden alle Winkel und somit alle Längen im 

Bogenmaß gemessen. 

Bogenmaß: 

Zu einem Winkel α ◦ gehört das Bogenmaß 

( α 

◦ ) 

α = 2π 

360 ◦ 

Dazu folgende Veranschaulichung: 

Dabei ist α gleich der Länge des Bogens auf dem Einheitskreis, der dem Winkel 

α ◦ entspricht. 

Sphärische Dreiecke 

Definition: 

Ein sphärisches Dreieck wird durch drei Punkte A,B und C auf S R und den kürzesten 

Verbindungslinien zwischen diesen Punkten gebildet. Die Winkel bezeichen 


1.5 Anhang: Sphärische Trigonometrie 

replacements 

α 

α ◦ 

0 1 

Abbildung 1.12: Bogenmaß 

wir mit α, β und γ. Die Längen der Seiten seien a,b und c. 

A 

replacements 

c 

α 

b 

β 

γ 

B 

a 

C 

Abbildung 1.13: Sphärisches Dreieck 

Bemerkung: 

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten A und B auf S R erhält man, indem 

man einen Großkreis durch A und B betrachtet und den kürzeren der beiden 

Großkreisbögen wählt. 

Zyklische Vertauschung 

Alle weiteren Formeln bleiben richtig, wenn man zyklisch vertauscht: 

a → b → c → a, α → β → γ → α 

Konvention: 

Wir setzen 

a ∗ := a R , b ∗ := b R , c ∗ := c R . 



Dann gilt der Sinussatz: 

sin α 

sin β = sin a ∗ 

sin b ∗ 

, 

sin β 

sin γ = sin b ∗ 

sin c ∗ 

, 

sin γ 

sin α = sin c ∗ 

sin a ∗ 

. 

Weiterhin gelten der Seitenkosinussatz: 

cos c ∗ = cos a ∗ cos b ∗ + sin a ∗ sin b ∗ cos γ 

cos b ∗ = cos c ∗ cos a ∗ + sin c ∗ sin a ∗ cos β 

cos a ∗ = cos b ∗ cos c ∗ + sin b ∗ sin c ∗ cos α 

der Winkelkosinussatz: 

cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos c ∗ 

cos β = cos γ cos α + sin γ sin α cos b ∗ 

cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos a ∗ 

sowie der Sinus-Kosinussatz: 

cos β sin a ∗ = cos α sin b ∗ cos c ∗ + cos b ∗ sin c ∗ 

cos γ sin b ∗ = cos β sin c ∗ cos a ∗ + cos c ∗ sin a ∗ 

cos α sin c ∗ = cos γ sin a ∗ cos b ∗ + cos a ∗ sin b ∗ 


Bestimmung der Brennweite eines 

Teleskops aus Himmelsaufnahmen 

2 

Aufgabe: 

Material: 

Literatur: 

Auf einer Himmelsaufnahme werden drei Sternpaare identifiziert, und ihre ungefähre 

Positionen und Helligkeiten auf dem Sternatlas (SAO) festgelegt. Bekannt 

sind die Mittelpunktskoordinaten der Photoplatte. Danach sucht man 

die genauen Koordinaten im Sternkatalog (SAO) heraus. Aus den Koordinaten 

und den gemessenen Abständen auf der Photoplatte können der Abbildungsmaßstab, 

die Winkeldimension des Plattenfeldes und die Brennweite des zur 

Aufnahme benutzten Teleskops bestimmt werden. Außerdem ist die Anzahl 

der Photoplatten zu berechnen, die nötig ist, um die gesamte Himmelssphäre 

abzudecken. Eine kurze Fehlerbetrachtung schließt den Versuch ab. 

Abzug einer Platte des ESO/POSS-Atlas, SAO-Katalog, SAO-Atlas, Taschenrechner. 

[1] Koordinatensysteme, S. 1ff; Brennweitenbestimmung, S. 119f 

[2] Koordinatensysteme, S. 22ff. 

Grundlagen — Theorie der Teleskope 2.1 

Anfang des 17. Jahrhunderts wurde in Holland das Fernrohr erfunden. Die ersten 

astronomischen Beobachtungen machte Galileo Galilei im Jahre 1609. 

Optische Instrumente 2.1.1 

Das Prinzip der optischen Teleskope beruht auf dem Sammeln des Lichts von 

Objekten – bei Refraktoren durch Linsen, bei Reflektoren durch Spiegel. 

Dadurch wird 

• die Untersuchung sehr schwacher Strahlungsquellen möglich und 

• die Auflösung erhöht, d.h. die optische Trennung engerer Objekte erleichtert. 

Damit konnte die Genauigkeit der Positionsmessung von Himmelskörpern erheblich 

gesteigert werden. 

Refraktoren 

Refraktoren oder Linsenteleskope bestehen aus zwei Linsen: 


2 Brennweitenbestimmung 

1. das Objektiv sammelt das einfallende Licht in der Brennpunkt- oder Fokalebene 

2. das Okular vergrößert das im Brennpunkt entstandene Bild. Um das Bild 

in den Fokus zu bekommen, kann der Abstand von Okular und Fokalebene 

verändert werden, d.h. Brennpunkt von Okular und Objektiv müssen in 

Übereinstimmung gebracht werden. 

Abbildung 2.1: Strahlengang in einem Refraktor und in einem Reflektor 

Reflektoren 

Reflektoren oder Spiegelteleskope besitzen als lichtsammelndes Element anstelle 

der Objektivlinse einen meist parabolisch geschliffenen Spiegel, der am unteren 

Ende des Rohres (Tubus) sitzt und die einfallenden Strahlen im Fokus bündelt. 

Wie beim Refraktor ergibt sich dabei ein reelles umgekehrtes Bild des Objekts, 

das mit einem Okular betrachtet oder mit einem in der Fokalebene des Spiegels 

angebrachten Strahlungsempfänger (wie einer photographischen Platte oder 

einem Spektrometer) verarbeitet werden kann. 


2.2 Optische Geometrie 

Optische Geometrie 2.2 

Der Durchmesser D des Objektivs bzw. des Spiegels nennt man Apertur oder 

Öffnung des Teleskops. Das Verhältnis von Öffnung D zur Brennweite f 

D 

f =: F 

ist das Öffnungsverhältnis F und charakterisiert die Lichtstärke des Fernrohres: 

• ist das Öffnungsverhältnis groß, nahe 1, hat man ein lichtstarkes Teleskop, 

d.h. man kommt mit kurzen Belichtungszeiten aus, 

• ist das Öffnungsverhältnis klein — das bedeutet die Brennweite muß viel 

größer als die Öffnung sein — sind längere Belichtungszeiten nötig. 

Wenn das Objekt unter dem Winkel ω gesehen wird, entsteht ein Bild der Höhe l 

tan ω = l f 

Die Vergrößerung Ω ergibt sich aus dem Verhältnis der Winkelöffnungen 

Ω = ω′ 

ω 

bzw. dem Verhältnis der Brennweiten f des Objektivs und f ′ des Okulars 

Ω = ω′ 

ω = f f ′ . 

Abbildung 2.2: Verhältnis der Winkelöffnungen 

Die Winkelöffnung kann mit Hilfe des Cosinus–Satzes der sphärischen Trigonometrie 

(vergl. Abschnitt 1.5) auch aus den Sternkoordinaten berechnet werden. 

(s. Abb. 2.3) 



Nordpol 

α 2 - α1 

90°-δ 1 

90°-δ 2 

1 

* 

ω 

* 

2 

δ 1 δ 2 

α 2 - α 1 

Äquator 

Abbildung 2.3: Winkelöffnung ω zwischen den Sternen 1 und 2 

2.3 

Einheiten von Winkel und Raumwinkel 

Ein Radiant (rad) ist der Winkel, dessen Kreisbogenlänge gleich dem Radius ist. 

Wenn r der Radius des Kreises ist und s die Bogenlänge, schließt der Bogen den 

Winkel α ein: 

α = s r . 

Da der Kreisumfang 2πr ist, gilt 

2π rad = 360 ◦ bzw. 1 rad = 180◦ 

π . 

Abbildung 2.4: Steradiant und Raumwinkel 

In analoger Weise kann man den Steradianten – den Raumwinkel – definieren. 

Der Raumwinkel gibt eine vom Kugelmittelpunkt gesehene Flächeneinheit auf der 

Oberfläche einer Einheitskugel an. Eine beliebige Fläche A auf einer Kugel mit 

dem Radius r entspricht dem Raumwinkel ϕ 

ϕ = A r 2 . 

Die Kugeloberfläche ist 4πr 2 ; demnach beträgt der vollständige Raumwinkel 4π 

Steradianten. 


2.3 Einheiten von Winkel und Raumwinkel 

Der gemessene Abstand l zwischen zwei Objekten auf der Photoplatte entspricht 

einem Winkelabstand ω. Das ergibt den Abbildungsmaßstab Γ: 

Γ = ω l 

(Wie ist die Einheit des Abbildungsmaßstabes?) Analog läßt sich die Winkeldimension 

W zu einer Fläche (hier: die rechteckige Fläche einer Photoplatte 

h · b), in Beziehung setzen, die einer äquivalenten Fläche auf der Himmelskugel 

entspricht: 

W = Γ 2 · h · b. 



2.4 

Durchführung 

1. Markieren Sie den Himmelsausschnitt auf der Photoplatte auf einer Kopie 

des SAO-Sternatlas. Dabei sollten Sie beachten, daß die Dimensionen unterschiedlich 

sind. Als Hilfe ist auf der Photoplatte der Plattenmittelpunkt 

angegeben. 

Die Photoplatten sind mit Farbfiltern aufgenommen, deshalb muß die Größenordnung 

der Helligkeiten auf der Photoplatte und im Sternatlas nicht exakt 

übereinstimmen! 

Nicht auf die Photoplatte zeichnen!!! 

2. Suchen Sie sich nun drei Sternenpaare auf der Photoplatte und identifizieren 

Sie diese im Sternatlas. 

Dabei sollten Sie darauf achten , daß die Sterne weder zu weit noch zu dicht 

beieinander liegen. (warum?) Wählen Sie keine Galaxien, Doppelsterne und 

Veränderliche sowie keine zu hellen Sterne, da sonst die Fehler zu groß 

werden. 

Sternpaare unbedingt auf der Kopie des Sternatlas kennzeichnen!!! 

3. Messen Sie Abstände auf der Photoplatte und notieren Sie sie. 

4. Notieren Sie die ungefähren Koordinaten und visuellen Helligkeiten die Sie 

auf der Karte des Sternatlas abgelesen haben. 

Finden Sie die Sterne im Sternkatalog – d.h. insbesondere im richtigen Band 

des selbigen – und notieren Sie die exakten Koordinaten und Helligkeiten. 

5. Berechnen Sie nun den Abbildungsmaßstab und mit Hilfe des Winkelabstandes 

ω (Tip: Cosinus-Satz für sphärische Dreiecke, s. 1.5) des jeweiligen Sternenpaares 

die Brennweite des Teleskops, das zur Aufnahme benutzt wurde. 

Berechnen Sie diese Werte für jedes Sternenpaar und bilden Sie dann den 

Mittelwert. Schätzen Sie den größtmöglichen Fehler für die Brennweite ab. 

6. Berechnen Sie die Winkeldimension der Photoplatte (dazu Länge und Breite 

messen) und die Plattenanzahl, die man benötigt, um die gesamte Himmelskugel 

abzubilden. 

1. Tip: wenn man Abbildungsmaßstab Γ in der Einheit [ ] 

rad bestimmt, 

so hat Γ 2 die Einheit [ sterad 

cm 2 

beträgt NICHT 360 ◦ × 180 ◦ = 64800( ◦2 )! 

] 

, 2. Tip: Nein, der vollständige Raumwinkel 

cm 


Bestimmung der Bahnelemente visueller 

Doppelsterne 

3 

Aufgabe: Aus den relativen Positionsdaten sind die Bahnelemente und die Massen- 

Summe des Systems ξ UMa zu bestimmen. 

Material: Systemdaten von 1826–1963 (aus: Heintz, W.D., 1966, Astron. Nachr., 289, 

269), Taschenrechner, Polarkoordinatenpapier 

Literatur: [1] Kap. VIII, § 2 

[2] § 15 

[6] Kap. 12, S.291 

Allgemeines 3.1 

Ein Doppelsternsystem ist ein System von zwei Sternen, die sich unter der Wirkung 

ihrer gegenseitigen Anziehung in elliptischen Bahnen um ihren gemeinsamen 

Schwerpunkt bewegen. Bei visuellen Doppelsternen lassen sich die beiden 

Komponenten im Fernrohr getrennt auflösen. Die sphärische Distanz der beiden 

Komponenten, d.h. ihr an die Beobachtungssphäre projizierter Abstand zueinander, 

beträgt bis zu mehreren Bogensekunden, so daß sie nur im Fernrohr getrennt 

erscheinen. Gemessen werden die Winkeldistanz ϱ der Komponenten und der Positionswinkel 

Θ, der Winkel zwischen der Verbindungslinie der beiden Sterne und 

der Nordrichtung (siehe Tabelle). Die zeitliche Änderung dieser Größen gibt also 

die Bewegung der beiden Komponenten relativ zueinander an; dabei nennt man 

den Punkt ihrer größten Annäherung Periastron, den ihrer größten Entfernung 

zueinander Apastron. Diese beobachtete Ellipse stellt die Projektion der wahren 

Bahn an die Sphäre dar. Die tatsächliche Bahn kann unter der Vorraussetzung, 

daß die Bewegung nach den Kepler’schen Gesetzen verläuft, rechnerisch oder 

wie in dieser Aufgabe graphisch aus der scheinbaren Bahn ermittelt werden. 


3 Bestimmung der Bahnelemente visueller Doppelsterne 

Abbildung 3.1: Scheinbare relative Bahn des visuellen Doppelsternsystems γ Virginis 

3.2 

3.2.1 

Grundlagen 

Mechanische Grundlagen 

Für ein Doppelsternsystem gilt das dritte Newton’sche Bewegungsgesetz: Wenn 

ein Körper (1) auf einen anderen Körper (2) eine Kraft F 12 ausübt, dann übt (2) 

auf (1) eine Kraft F 21 aus, die dem Betrage nach der ersten entgegengesetzt gleich 

ist: 

Mit dem Gravitationsgesetz folgt: 

F 12 = −F 21 . 

F 12 = M 1 

¨⃗X1 = − M 1M 2 G ( ⃗ X 1 − ⃗ X 2 ) 

| ⃗ X 1 − ⃗ X 2 | 3 (3.1) 

F 21 = M 2 

¨⃗X2 = − M 1M 2 G ( ⃗ X 2 − ⃗ X 1 ) 

| ⃗ X 1 − ⃗ X 2 | 3 (3.2) 


3.2 Grundlagen 

z 

M1 

X 1 

X 

Schwerpunkt 

Y 

M2 

X 2 

y 

x 

Abbildung 3.2: Ortsvektoren 

Mit den Schwerpunktskoordinaten ⃗ X und Abstandskoordinaten ⃗ Y (siehe Abbildung 

3.2) 

erhalten wir: 

⃗X = M 1 ⃗ X 1 + M 2 

⃗ X2 

M 1 + M 2 

⃗Y = ⃗ X 1 − ⃗ X 2 

¨⃗X = M 1 

¨⃗X 1 + M 2 

¨⃗X2 

und damit auch F 12 + F 21 

= 0 

M 1 + M 2 M 1 + M 2 

d.h. der Schwerpunkt bewegt sich gleichförmig und geradlinig, und: 

¨⃗Y = −(M 1 + M 2 )G ⃗ Y 

Wir haben jetzt also aus den beiden Differentialgleichungen (3.1) und (3.2) eine 

einzige Differentialgleichung gemacht, diese kann nun gelöst werden. Die Rechnung 

kann aufgrund ihres Umfanges hier nicht ausgeführt werden, aber man erhält 

als Ergebnis die drei Keplerschen Gesetze: 

1. ⃗ Y (t) liegt in einer Ebene und dort auf einer Ellipse, deren einer Brennpunkt 

sich bei ⃗ Y = 0 befindet. 

2. ⃗ Y (t) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 

3. Für die Umlaufszeit T und die große Halbachse der Ellipse a gilt: 

| ⃗ Y | 3 

(M 1 + M 2 )T 2 

a 3 

= const. 



3.2.2 

Bahnelemente 

Die wahre Bahn wird durch folgende Elemente bestimmt: 

b 

F1 F2 

c M 

a 

Abbildung 3.3: Bild einer Ellipse 

F 1 , F 2 Brennpunkte 

a w , b w große bzw. kleine Halbachse der wahren Bahn 

c w lineare Exzentrizität c = √ a 2 − b 2 √ 

e numerische Exzentrizität e = c/a = 1 − b 2 /a 2 

T 

Umlaufzeit 

i 

Neigungs-(Inklinations)winkel zwischen wahrer Bahn und der Projektion 

der beobachteten Bahn an die Himmelssphäre. Dabei gilt 

cos i = |⃗ b H | 

|⃗a K | = |⃗ b H | 

|⃗a H | 

Zu den Elementen der scheinbaren, also beobachtbaren Bahn gehören: 

a s , b s Projektionen von a w , b w auf die Beobachtungsebene. Das sind 

NICHT die große bzw. kleine Halbachse der scheinbaren Bahn! 

k 

Achsenverhältnis 

k = |⃗a w| 

| ⃗ b w | = 1 

√ = 

1 − c2 w 

a 2 w 

1 

√ 

1 − c2 s 

a 2 s 

≠ |⃗a s| 

| ⃗ b s | 

(da ⃗a parallel zu ⃗c bei jeder Projektion ist). 

Durch die nachfolgenden Transformationen der beobachtbaren Bahnellipse über 

einen Kreis bis hin zur Hilfsellipse treten folgende Größen auf: 

a H , b H 

a K 

große bzw. kleine Halbachse der zu bestimmenden Hilfsellipse 

Radius des transformierten Kreises. 

3.3 

Die graphische Methode 

Um die wahre Bahn aus der beobachteten scheinbaren Bahn zu ermitteln, konstruiert 

man mit Hilfe der folgenden linearen Transformationen P , V und U eine 

sogenannte Hilfsellipse (siehe Abb. 3.4): 


3.3 Die graphische Methode 

P stellt die Projektion aus der Bahnebene auf die Beobachtungsebene dar. Hierbei 

werden die Strecken a w auf a s , b w auf b s und c w auf c s abgebildet. Bei dieser Projektion 

werden alle Winkel verzerrt, aber parallele Strecken bleiben zueinander 

parallel und Längenverhältnisse paralleler Strecken bleiben konstant. Diese Tatsache 

ermöglicht uns zunächst die Bestimmung von a s , b s und c s über folgenden 

Gedankengang: 

1. Der Mittelpunkt der wahren Ellipse wird auf den Mittelpunkt der scheinbaren 

Bahn abgebildet. 

2. Der Brennpunkt der wahren Bahn in dem sich der eine Stern befindet, 

liegt im Ursprung des Koordinatensystems der scheinbaren Bahn. Damit 

ist die Verbindungslinie der Strecke Ursprung-Mittelpunkt der scheinbaren 

Bahn die Projektion c s der linearen Exzentrizität der wahren Bahn c w . Die 

Verlängerung dieser Strecke über den Mittelpunkt hinaus bis zum “Rand” 

der scheinbaren Bahnellipse ist also gerade a s , die Projektion der der wahren 

großen Halbachse a w . 

3. Der Winkel zwischen den Projektionen b s und a s der wahren kleinen und 

großen Halbachsen b w und a w wurde durch die Projektion P verzerrt, aber 

da die wahre kleine Halbachse b w parallel ist zu der Tangente an die wahre 

Ellipse, an der Stelle, wo a w diese berührt, ist die Projektion b s parallel zur 

der Tangente an die scheinbare Bahn an der Stelle wo a s diese berührt. 

Um jetzt aus den Elementen der scheinbaren Bahn die Elemente der wahren Bahn 

erhalten bedienen wir uns folgender Hilfstransformation: 

Die Transformation V entspricht einer Streckung der wahren Bahnellipse entlang 

der kleinen Halbachse b w um den Faktor k = a w /b w und bildet somit die wahre 

Ellipse auf einen Kreis mit dem Radius a K = a w ab. Vektorkomponenten parallel 

zu a w bleiben hierbei unverändert, während Komponenten parallel zu b w um den 

Faktor k verlängert werden. 

Die Abbildung U transformiert nun die scheinbare Bahn auf das Bild, das dieser 

Kreis unter der Projektion P auf die Beobachtungsebene werfen würde. Sie entspricht 

also einer Streckung der scheinbaren Bahn parallel zu b s um den gleichen 

Faktor k. Man erhält eine Hilfsellipse, deren große Halbachse a H genauso groß 

wie die große Halbachse der wahren Bahn a w ist, da diese Hilfsellipse ja genau 

der Projektion P eines Kreises mit dem Radius a w in die Beobachtungsebene 

entspricht. 

Nachdem man die Vektoren a s , b s und c s ermittelt hat, läßt sich die Hilfsellipse 

durch U konstruieren: 

Ua s = P V P −1 a s = P V a w = P a w = a s 

Ub s = P V P −1 b s = P V b w = P kb w = kP b w = kb s 



Abbildung 3.4: Darstellung der Transformationen P, V und P −1 . Es ist zu beachten, 

daß die Doppelsternbahn in der Papierebene in zwei verschiedenen 

Ebenen dargestellt wird: i) aus der Beobachterperspektive 

(scheinbare Bahn), ii) bei der orthogonalen Draufsicht (wahre 

Bahn). 

3.4 

Durchführung 

Zunächst werden alle Koordinaten, für die ein Gewicht ≥ 5 angegeben ist, aus der 

Tabelle auf Polarkoordinatenpapier übertragen (0.2 Bogensekunden entsprechen 

1cm) und samt Koordinatenkreuz auf Transparentpapier kopiert. Dabei befindet 

sich die eine der beiden Komponenten im Koordinatenursprung. Durch Falten 

des Transparentpapiers längs der Achse der Ellipse läßt sich ihr Mittelpunkt (M) 

bestimmen. Die Strecke von M bis zum Brennpunkt liefert c s , die Projektion 

der linearen Exzentrizität. Die Verlängerung dieser Strecke über M bis zum Ellipsenrand 

ergibt dann a s , die Projektion der wahren großen Halbachse a w auf 

die Beobachtungsebene. In den Schnittpunkt von a s mit der Ellipse wird eine 

Tangente gelegt und durch den Mittelpunkt parallel verschoben, so daß man b s 

erhält (Strecke von M bis zum Schnittpunkt mit der Ellipse). Innerhalb der Ellipse 

werden ca. 20 Parallelen zu b s gezeichnet und um den berechneten Faktor 


3.4 Durchführung 

k verlängert. Durch die Endpunkte dieser Parallelen wird jetzt die Hilfsellipse 

gezeichnet. Nun lassen sich die neuen Halbachsen a H und b H bestimmen. Es gilt 

|⃗a H | = |⃗a K | = |⃗a w |. 

Fassen wir noch einmal zusammen: aus der beobachtbaren, also scheinbaren Bahn 

erhält man die Größen a s , b s und c s , aus denen das Achsenverhältnis k bestimmt 

wird. Mit Hilfe der Größe k läßt sich die Hilfsellipse konstruieren, die die große 

Halbachse der wahren Bahn a w sowie die Größe b H liefert. Daraus lassen sich 

schließlich die lineare und numerische Exzentrizität, c w und e w sowie der Neigungswinkel 

i zwischen wahrer und beobachtbarer Bahn berechnen. 

Bestimmung der Umlaufszeit 3.4.1 

Die Umlaufzeit T ermittelt man am besten mit Hilfe von einigen Wertepaaren 

die annähernd gleiche Positionswinkel haben. 

Bestimmung der Massensumme des Systems 3.4.2 

Die in der Astronomie übliche Längeneinheit ist das parsec (pc). Sie entspricht 

der Entfernung, bei der der mittlere Erdbahnradius ( = 1.49598 · 10 13 cm =: 1 

AE (Astronomische Einheit)) unter einem Winkel von 1 ′′ erscheint. 

Folglich gilt: 

a w [AE] = d [AE] · a w [rad] 

=: d [pc] · a w [ ′′ ] 

Analog dazu lassen sich die anderen Parameter umrechnen. 

Der Abstand zu dem Doppelsternsystem ξUMa beträgt 

Für das Zweikörperproblem gilt immer: 

somit: 

d(ξUMa) = 8.0 pc. 

(M 1 + M 2 )T 2 

a 3 

= const. 

M 1 + M 2 

≃ M 1 + M 2 a 

= ( ) 3 T · ( ) −2 = (a[AE]) 3 · (T[yr]) −2 . 

M ⊙ M ⊙ + M Erde a Erde T Erde 




Die Sternstromparallaxe am Beispiel der 

Hyaden 

4 

Aufgabe: 

Material: 

Aus den Koordinaten, den Eigenbewegungen und den Radialgeschwindigkeiten 

von 5 Hyaden-Sternen sollen der Konvergenzpunkt, die Haufengeschwindigkeit 

und die Entfernung der Haufensterne bestimmt werden. 

Koordinaten, Eigenbewegungen und Radialgeschwindigkeiten von 5 Hyaden- 

Sternen; zitiert nach: 

H.Schwan, 1990, Astronomy and Astrophysics, 228, 69. 

Einleitung 4.1 

In dieser Aufgabe widmen wir uns einer der vielen Methoden, Entfernungen zu 

bestimmen, der Sternstromparallaxe. Diese Methode ermöglicht die Entfernungsbestimmung 

von jungen Sternhaufen. Sie wird am Beispiel der Hyaden vorgeführt. 

Die Hyaden sind ein Sternhaufen, d.h., eine Ansammlung vieler Sterne, die alle 

zur gleichen Zeit aus einer Wolke interstellarer Materie entstanden sind. Von 

den Hyaden sind mittlerweile 350 Mitglieder bekannt. Da die Hyaden relativ nah 

sind, kann man ihre Eigenbewegungen gut messen. Außerdem kann man ihre 

Entfernung durch mehrere voneinander unabhängige Methoden bestimmen, so 

daß man z.B. die photometrischen Parallaxen, die eine sehr große Reichweite 

haben, an ihnen eichen kann. 

Für die Sternstromparallaxe sind sie vor allem deshalb gut geeignet, weil es sich 

um einen sehr jungen Sternhaufen handelt, so daß sich die Sterne alle noch mit 

der gleichen Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen. 

Die Sternstromparallaxe 4.2 

Wir betrachten zunächst die scheinbare Bahn eines einzelnen Sterns an der Himmelskugel. 

Obwohl sich die Sterne der Milchstraße sich im Wesentlichen um deren Zentrum 

bewegen, beobachtet man bei allen eine Eigenbewegung µ (s. Abb 4.1). µ ist 

die Projektion der Tangentialgeschwindigkeit an die Himmelskugel. Mit Hilfe der 

Eigenbewegung und der Tangentialgeschwindigkeit kann man die Entfernung be- 


4 Sternstromparallaxe 

rechnen: 

r = v tan 

µ 

(4.1) 

v r 

Stern 

λ 

v 

r 

v tan 

Richtung Vertex 

Beobachter 

λ 

µ 

Abbildung 4.1: Eigenbewegung eines Sterns 

Die Eigenbewegung läßt sich i.a. gut beobachten. Dazu betrachtet man einmal 

die Änderung µ δ der Deklination und die Änderung µ α der Rektaszension. µ α 

beschreibt dabei die Änderung entlang des Äquators, (bei δ = 0). Die Änderung 

entlang des Breitenkreises, der durch den Stern verläuft, ist dann µ α cos δ 

(siehe Abb. 4.2). Da die Änderungen so klein sind, kann man sich µ α cos δ und 

Nordpol 

µ 

µ δ 

S µ α cos δ 

θ obs 

δ 

µ α 

Äquator 

Abbildung 4.2: Bestimmung der Eigenbewegung des Sterns S 

µ δ tangential an die Himmelskugel denken, so daß sich der Satz des Pythagoras 

anwenden läßt: 

µ = 

√ 

(µ α cos δ) 2 + µ 2 δ (4.2) 

Die Tangentialgeschwindigkeit dagegen ist nicht ohne weiteres beobachtbar. Da 

aber die Radialgeschwindigkeit mit Hilfe des Doppler-Effekts leicht zu bestimmen 


4.2 Die Sternstromparallaxe 

ist, kann man mit ihr und mit dem Winkel zwischen ihr und der Gesamtgeschwindigkeit 

die Tangentialgeschwindigkeit berechnen: 

v tan = v r · tan λ 

Gl.(4.1) 

=⇒ r = vr·tan λ 

µ 

Gl.(4.2) 

=⇒ r = 

√ 

v r·tan λ 

(µ α cos δ) 2 +µ 2 δ 

⇐⇒ r[pc] = 

4.738· 

v r[km/s]·tan λ 

√(µ α[ ′′ /a] cos δ) 2 +µ 2 δ· (4.3) 

In Gleichung (4.3) werden die in der Astronomie üblichen Einheiten verwendet, 

deshalb erscheint der Umrechnungsfaktor 4,738. 

Bis hierher haben wir das Problem nur von der unbekannten Tangentialgeschwindigkeit 

v tan auf den unbekannten Winkel λ verlagert. Der Winkel λ ist für einen 

Einzelstern nicht bestimmbar, da wir nur die Projektion der Geschwindigkeit an 

die Himmelskugel sehen, also die Richtung von v nicht kennen. 

Für die Sterne eines Sternhaufens lassen sich λ und damit v tan sehr wohl bestimmen, 

weil wir eine zusätzliche Information über die Richtung der Geschwindigkeit 

haben: 

Ein Sternhaufen ist eine Ansammlung vieler Sterne, die alle zur gleichen Zeit aus 

einer Materiewolke entstanden sind. Nimmt man an, daß der Sternhaufen, den 

man beobachtet, noch eine Weile bestehen bleibt, kann man davon ausgehen, daß 

sich die Sterne alle in die gleiche Richtung bewegen und dieselbe Geschwindigkeit 

haben. Einen Sternhaufen mit einer solchen charakteristischen Bewegung nennt 

man Sternstrom (siehe Abb. 4.3). 

Da die Bewegung der Sterne an die Himmelskugel, also auf eine zweidimensionale 

Fläche projiziert wird, scheint ihre Bewegung auf einen festen Punkt gerichtet, 

den sog. Vertex. Ähnliches kennt man von Eisenbahnschienen, die sich in der Ferne 

zu schneiden scheinen, obwohl sie immer parallel verlaufen. Man mache sich klar, 

daß jede beliebig große Strecke–sogar die Verbindungslinie zwischen zwei Sternen 

eines Sternhaufens– in “unendlich” großer Entfernung auf einen Punkt zusammenschrumpft. 

Verlängert man also die parallelen Geschwindigkeitsvektoren der 

Einzelsterne eines Sternhaufens in die Unendlichkeit, so laufen die Projektionen 

dieser gedachten Geraden an der Himmelskugel in einem Punkt, dem Vertex zusammen. 

Der entscheidende Punkt bei der Sternstromparallaxe ist nun folgende 

Überlegung: Eine Gerade, die parallel zur Haufengeschwindigkeit durch den Beobachter 

auf der Erde gelegt wird, läuft natürlich auf denselben Punkt an der 

Himmelskugel zu (wirklich!). Damit ist aber der oben gesuchte Winkel λ für jeden 

Stern, genau der Winkelabstand des Sterns vom Vertex an der Himmelskugel. 

Wenn man also die Koordinaten (A,D) des Vertex kennt, läßt sich der Winkel λ 

für jeden Stern einfach mit Hilfe des Cosinus-Satzes berechnen: 

cos λ = sin δ · sin D + cos δ cos D cos(A − α) (4.4) 



Abbildung 4.3: Sternstrom 

wobei (α, δ) die Koordinaten eines Sterns des Sternhaufens sind. 

Die Koordinaten (A,D) des Vertex lassen sich aus den beobachteten Sternpositionen 

und Eigenbewegungen berechnen. 

Bestimmt man auf diese Weise nun λ, so kann man mit Hilfe von Gleichung (4.3) 

die Entfernung eines Sterns berechnen. 

Im nächsten Kapitel wird nun hergeleitet, wie die Vertex-Koordinaten berechnet 

werden können. 

4.3 

Vertexbestimmung 

Wir betrachten jetzt zunächst wieder einen einzelnen Stern. Im letzten Kapitel 

hatten wir dessen Geschwindigkeit V lediglich in eine radiale und eine tangentiale 

Komponente zerlegt. Jetzt wollen wir die Komponenten bezüglich des folgenden, 

begleitenden Dreibeins darstellen: 

⃗α 0 = − sin α ⃗x 0 + cos α ⃗y 0 (4.5) 

⃗ δ 

0 

= − sin δ cos α ⃗x 0 − sin δ sin α ⃗y 0 + cos δ ⃗z 0 (4.6) 

⃗r 0 = + cos δ cos α ⃗x 0 + cos δ sin α ⃗y 0 + sin δ ⃗z 0 (4.7) 

sowie bezüglich eines weiteren festen Koordinatensystems Σ, das seinen Ursprung 

in der Sonne hat und für dessen Achsen gilt: 


4.3 Vertexbestimmung 

x-Achse: zeigt in Richtung (α, δ)=(0 h ,0 ◦ ) 

y-Achse: zeigt in Richtung (α, δ)=(6 h ,0 ◦ ) 

z-Achse: zeigt zum Nordpol 

Abbildung 4.4: Koordinatensystem Σ und begleitendes Dreibein 

Die Komponenten von V bezüglich Σ sind: 

V x = V cos D cos A (4.8) 

V y = V cos D sin A (4.9) 

V z = V sin D (4.10) 

Damit folgt dann für die Komponenten bezüglich des begleitenden Dreibeins: 

V α = ⃗ V · ⃗α 0 = −V x sin α + V y cos α (4.11) 

V δ = ⃗ V · ⃗δ 0 = −V x sin δ cos α − V y sin δ sin α + V z cos δ (4.12) 

V r = ⃗ V · ⃗r 0 = +V x cos δ cos α + V y cos δ sin α + V z sin δ (4.13) 

Aus den Gleichungen (4.8)–(4.10) ist ersichtlich, daß es reicht, V x /V z und V y /V z 

zu kennen, um A und D zu berechnen. Das soll im Folgenden hergeleitet werden. 

Für V α und V δ gilt: 

V α = r · µ α cos δ (4.14) 

V δ = r · µ δ (4.15) 

wobei r die Entfernung des Sterns ist. 

Setzt man nun die Gleichungen (4.14) und (4.15) in (4.11) und (4.12) ein und 

dividiert diese durch einander, so erhält man: 

V α 

V δ 

= 

−V x sin α + V y cos α 

−V x sin δ cos α − V y sin δ sin α + V z cos δ = µ α cos δ 

µ δ 

⇔ 

− V x 

V z 

· sin α · µ δ + V y 

V z 

· cos α · µ δ 

= − V x 

V z 

· sin δ cos α · µ α cos δ − V y 

V z 

· sin δ sin α · µ α cos δ + µ α cos 2 δ 

(4.16) 



Mit folgenden Abkürzungen kann man diese Gleichung auf eine recht übersichtliche 

Form bringen. Mit 

gilt dann: 

ξ := V x 

V z 

(= cos A 

tan D ) (4.17) 

η := V y 

(= sin A 

V z tan D ) (4.18) 

a := µ α sin δ cos δ cos α − µ δ sin α 

b := µ α sin δ cos δ sin α + µ δ cos α 

c := µ α cos 2 δ 

(4.19) 

=⇒ a ξ + b η − c = 0 (4.20) 

a, b, c sind bekannt, ξ und η werden gesucht. Wir haben aber mit Gleichung 

(4.20) leider nur eine Gleichung für zwei Unbekannte, die aber für jeden Stern 

einzeln gilt. 

Hier nutzen wir nun die Tatsache, daß wir viele Sterne zur Verfügung haben und 

gehen mit der statistischen Methode der kleinsten Quadrate an dieses Problem 

heran: 

Bisher sind wir davon ausgegangen, daß sich alle Mitglieder des Sternhaufens 

mit der gleichen Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen–nur dann treffen 

sich die Projektionen aller scheinbaren Bahnen tatsächlich im Vertex (A,D). In 

der Realität werden aber zufällig verteilte Abweichungen festzustellen sein. Das 

bedeutet nichts weiter, als daß die rechte Seite von Gleichung (4.20): 

q := aξ + bη − c im allgemeinen ungleich Null sein wird. 

Die wahrscheinlichsten Werte von ξ und η erhält man, indem man die Summe Q 

der quadratischen Abweichungen q i 

n∑ 

Q = qi 2 (4.21) 

minimiert. Es muß dann gelten: 

∂Q 

∂ξ 

i=1 

= 0 und 

∂Q 

∂η = 0 (4.22) 

Die Differentiation von (4.22) führt auf folgende Bedingungsgleichungen: 

[aa] ξ + [ab] η = [ac] 

[ba] ξ + [bb] η = [bc] (4.23) 

wobei die eckigen Klammern jeweils für die Summen stehen: 

n∑ 

[xy] := x i y i 

i=1 


4.4 Genauigkeit der Methode 

Das Gleichungssystem (4.23) hat die Lösung: 

η = 

ξ = 

[bc] − 

[ab]·[ac] 

[aa] 

[bb] − [ab]2 

[aa] 

[ac] − [ab] · η 

[aa] 

(4.24) 

(4.25) 

Mit den Gleichungen (4.8), (4.9) und (4.10) lassen sich dann A und D berechnen. 

Genauigkeit der Methode 4.4 

Um die Entfernung bestimmen zu können, haben wir die Annahme gemacht, daß 

sich alle Sterne des Sternhaufens mit der gleichen Geschwindigkeit in dieselbe 

Richtung bewegen. Die Frage ist nun, ob diese Annahme gerechtfertigt ist. Wir 

sind hier in der glücklichen Lage, das überprüfen zu können: Es gibt hier einen 

Winkel θ, den man einmal mit dieser Annahme berechnen kann und andererseits 

direkt aus den Beobachtungsdaten erhält: der Winkel zwischen den Linien Stern- 

Nordpol und Stern Vertex. In Abbildung 4.2 ist der Winkel θ obs , den man aus den 

Beobachtungsdaten erhält, bereits eingezeichnet. Er ergibt sich damit aus: 

cos θ obs = µ δ 

µ 

(4.26) 

Für den zu berechnenden Winkel θ calc sieht die Situation folgendermaßen aus: 

Wendet man den Cosinus-Satz für 90 ◦ − D an, so erhält man: 

Nordpol 

A- α 

90°-D 

90°-δ 

Vertex(A,D) 

Beobachter 

λ 

Stern 

(α,δ) 

λ 

θ calc 

Abbildung 4.5: Berechnung von θ calc 

cos θ calc = 

sin D − cos λ · sin δ 

sin λ · cos δ 

(4.27) 



Nr. α δ µ α cos δ µ δ v r 

[h m s] [ ◦ , ′ ] [0.001 ′′ /yr] [0.001 ′′ /yr] [km/s] 

1 3 50 18 17 10 148.5 -29.8 35.0 

2 4 12 56 15 16 117.4 -24.5 36.9 

3 4 26 02 12 56 107.4 -15.6 33.4 

4 4 36 25 15 49 86.4 -18.1 36.9 

5 4 48 27 18 45 84.3 -34.5 38.5 

Tabelle 4.1: Koordinaten, Eigenbewegungen und Radialgeschwindigkeiten einiger 

Hyadensterne 

Durchführung 4.5 

Meßungenauigkeit der Eigenbewegungen: 0.002 ′′ /yr 

[aa] = 11954.04 [ab] = 5270.80 [ac] = 31159.64 

[ba] = [ab] [bb] = 2684.98 [bc] = 17162.18 

1. Berechne die Vertex-Koordinaten mit Hilfe der Gleichungen (4.24), (4.25), 

(4.17) und (4.18)! Man beachte dabei, daß A einen Wert zwischen 0 ◦ und 

360 ◦ annehmen kann, während der Wertebereich der Arcus-Tangens-Funktion 

von −90 ◦ bis +90 ◦ läuft. Wie läßt sich die Doppeldeutigkeit des Ergebnisses 

interpretieren? Wie entscheidet man, welches der korrekte Wert ist? 

2. Berechnen Sie damit und mit Gleichung (4.4) die λ[ ◦ ]-Werte für jeden der 

in der Tabelle aufgeführten Sterne! 

3. Berechne nun mit Hilfe der Gleichungen (4.1) bis (4.3) v tan [km/s], v[km/s], 

µ[0, 001 ′′ /a] und r[pc] für jeden Stern! 

4. Überprüfen Sie nun, die Genauigkeit der Methode, in dem Sie mit den 

Gleichungen (4.26) und (4.27) θ obs , θ calc sowie △θ =| θ obs −θ calc | berechnen. 

Werten Sie Ihr Ergebnis ausführlich aus!!! 

5. Berechne den Mittelwert, die Standardabweichung, sowie die absoluten und 

relativen Fehler von v und r. Werte dieses Ergebnis ausführlich aus!!! 

Es gilt: 

1 

n∑ 

Mittelwert: ¯x = x i , 

n 

i=1 

Standardabweichung: σ x = √ 1 n∑ 

(x i − ¯x) 

n − 1 

, 

i=1 

absoluter Fehler: ∆x i = x i − ¯x, 

relativer Fehler = 

∆x i 

¯x 


Klassifikation von Sternspektren aus 

Objektivprismenaufnahmen 

5 

Aufgabe: Grobe Klassifikation von Sternspektren nach Harvard. Aus den Aufnahmen sollen 

durch Vergleich mit dem Bonner Spektralatlas die Spektraltypen möglichst 

genau bestimmt werden. Für jeden Stern soll eine kurze Beschreibung der 

auffälligsten Klassifikationsmerkmale gegeben werden. 

Material: Objektivprismenaufnahmen von 4 Sternen, mit einer ursprünglichen Dispersion 

von etwa 100Å/mm. Vergleichsaufnahmen aus dem Bonner Spektralatlas I und 

dem Atlas of Representative Stellar Spectra. 

Literatur: [1] Kap. IV, § 2; Kap. V, §§ 1, 2 

[4] Kap. 4, insbes. 4.5 

[5] Kap. I, § 2; Kap. IV, § 1; Kap. V, § 2 

[6] Kap. 5 

Einführung 5.1 

Spektralklassifikationen 5.1.1 

Um die Vielzahl von beobachtbaren Sternen zuordnen zu können, klassifiziert 

man sie nach ihren Spektren. Als Spektralklassifikation bezeichnet man dabei die 

Einordnung der Sternspektren in einer oder mehreren Dimensionen, die bestimmten 

Zustandsgrößen der Sterne entsprechen. Diese sind: 

Temperatur, Druck und chemische Zusammensetzung. 

Je nachdem wieviele Zustandsgrößen man berücksichtigt, spricht man von einbzw. 

mehrdimensionalen Spektren. Die Anordnung erfolgt in dieser Aufgabe phänomenologisch 

nach dem Aussehen des Linienspektrums. 

• Die bekannteste Klassifikation ist die von Harvard, niedergelegt im Henry- 

Draper-Katalog. 225 300 Sterne sind in diesem System klassifiziert und weitere 

133 000 Sterne befinden sich in späteren Erweiterungen dieses Kataloges. 

Der Henry-Draper-Katalog benutzt als Grundlage für die Spektralklassifikation 

Objektivprismenspektren. Dies sind Aufnahmen mit mittleren 

Teleskopen, d.h. mit einer Objektivöffnung von 40–60cm Durchmesser, vor 

deren Objektivlinse sich ein Prisma befindet, das für jeden Stern auf der 

Aufnahme ein Spektrum produziert. Objektivprismenspektren werden vorzugsweise 

mit Schmidt-Teleskopen aufgenommen, weil die optische Abbil- 


5 Spektralklassifikation 

dung entlang des gesamten erzeugten Spektrums im Fokus bleibt, was sonst 

nicht der Fall ist. Der Nachteil der Harvardklassifikation ist, daß sie von 

einer einheitlichen chemischen Zusammensetzung ausgeht und auch keine 

Unterschiede in der Leuchtkraft (Druck) macht. Sie ist als eindimensionale 

Klassifikation im Wesentlichen nur eine Charakterisierung der Temperatur 

(Ionisations- und Besetzungstemperatur) in der Sternatmosphäre. 

Abbildung 5.1: Strahlengang durch ein Prisma 

• Für eine genauere, hier zweidimensionale Klassifikation hat man auch die 

Leuchtkraft des Sterns zu betrachten, da zwei Sterne gleicher effektiver Temperatur 

(siehe auch Schwarzkörperstrahlung) sehr unterschiedliche Leuchtkräfte 

besitzen können.Diesen zweiten Parameter führt das Yerkes- oder 

Morgan-Keenan-System (MK-System) ein. Es ist die sog. Leuchtkraftklasse 

welche im wesentlichen ein Maß für den Elektronendruck in der Sternatmosphäre 

darstellt. 

• Drei- und mehrdimensionale Systeme berücksichtigen auch noch die evtl. 

unterschiedliche chemische Zusammensetzung der Sterne. 

Harvard und MK sind heute die gebräuchlichsten Systeme. MK hat bereits über 

10.000 klassifizierte Sterne. 

5.2 

Grundlagen: Was ist Strahlung? 

Strahlung nennt man die räumliche Ausbreitung von Energie in Form von Wellen 

oder Teilchen. Zur Wellenstrahlung gehören u.a. die elektromagnetische (z.B. 

sichtbares Licht, Radiowellen, Röntgenstahlung) und die akustische Strahlung 

(Schallwellen). Zur Teilchenstrahlung zählt beispielsweise die radioaktive α- und 

β-Strahlung. 

Elektromagnetische Strahlung setzt sich aus zeitlich und räumlich periodisch veränderlichen 

elektrischen und magnetischen Feldern zusammen, die senkrecht zueinander 

schwingen und sich mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum ausbreiten. 


5.2 Grundlagen: Was ist Strahlung? 

Bei den Sternen ist man besonders an dem Zusammenhang zwischen seiner Oberflächentemperatur 

und der von ihm in den verschiedenen Bereichen des elektromagnetischen 

Spektrums ausgestrahlten Energie interessiert. 

Schwarzkörperstrahlung 5.2.1 

Heiße Körper senden aufgrund ihrer Temperatur elektromagnetische Strahlung 

aus. Bei Temperaturen unter einigen 100K handelt es sich bei der emittierten 

Strahlung überwiegend um infrarotes Licht oder sogenannte Wärmestrahlung. 

Schwarzkörperstrahlung ist völlig unabhängig von der chemischen Zusammensetzung 

des Körpers, sie hängt nur von seiner Oberflächentemperatur ab und 

ist intensitätsmäßig in einer bestimmten Weise über alle Wellenlängenbereiche 

verteilt (kontinuierliches Spektrum – siehe auch Abb. 5.2: Plancksche Strahlungskurve). 

Die über alle Frequenzen ausgestrahlte Gesamtenergie ist nach dem 

Stefan-Boltzmann-Gesetz proportional zu T 4 . Vergleicht man die zu verschiedenen 

Oberflächentemperaturen gehörenden spektralen Intensitätskurven heißer 

Körper miteinander, so stellt man fest, daß das Intensitätsmaximum der Strahlung 

bei um so kürzeren Wellenlängen liegt, je höher die Temperatur (Wiensches 

Verschiebungsgesetz). 

Unter der Effektivtemperatur eines Sterns versteht man die Temperatur, die ein 

Schwarzer Körper hätte, wenn er die gleiche Gesamtenergie (pro cm 2 ) wie der 

Stern ausstrahlen würde. 

Abbildung 5.2: Planck’ sche Strahlungsverteilung 



Abbildung 5.3: Entstehung von a) Emissions- und b) Absorptionslinien 

5.2.2 

Elektromagnetische Strahlung 

Wie entsteht ein Spektrum? 

Elektromagnetische Strahlung wird emittiert oder absorbiert, wenn Elektronen in 

einem Atom bzw. Molekül von einem Energieniveau in ein anderes übergehen. Die 

dabei auftretende Energiedifferenz ∆E entspricht einer bestimmten Frequenz, 

∆E = h · ν 

die in dem zugehörigen Spektrum zu einer Spektrallinie Anlaß gibt. Jedes Element 

bzw. Molekül erzeugt ein charakteristisches Linienspektrum. Eine gesetzmäßige 

Folge von Linien bezeichnet man als Serie. Am Bekanntesten sind die Absorptionslinien 

der Balmerserie des angeregten Wasserstoffs, sie spielen in der Spektralklassifikation 

eine bedeutende Rolle. 

Entstehung der Linien 

Ein heißes Gas produziert bei niedrigem Druck ein Emissionsspektrum, das aus 

diskreten Linien charakteristischer Energien bzw. Wellenlängen (siehe oben) besteht. 

Wird das Gas abgekühlt und von weißem Licht durchlaufen, das alle Wellenlängen 

enthält, so sind in dem kontinuierlichen Spektrum der Lichtquelle dunkle 

Absorptionslinien derselben Wellenlänge zu sehen. 

Bei niedrigen Temperaturen befinden sich die meisten Atome bzw. Elektronen in 

ihrem tiefsten Energiezustand, dem Grundzustand. Höhere Energieniveaus sind 

angeregte Zustände. Der Übergang von einem niedrigeren in ein höheres Energieniveau 

wird Anregung genannt. Die Aufnahme von Energie entspricht der Absorption 

eines Photons und gibt im kontinuierlichen Spektrum Anlaß zu einer 


5.3 Klassifikationskriterien 

dunklen diskreten Linie. Kehrt das durch hohe Energien angeregte Elektron auf 

ein tieferes Energieniveau zurück, spricht man von Emission. Verläßt das Elektron 

durch Zufuhr von ausreichender Energie den Atomverband, so spricht man 

von einem gebunden-freien Übergang, auch Ionisation genannt. Der umgekehrte 

Prozeß, bei dem ein Atom ein freies Elektron einfängt, ist die Rekombination 

oder der frei-gebundene Übergang. Wird ein freies Elektron an einem Kern oder 

Ion gestreut, ohne eingefangen zu werden, so kann die elektromagnetische Wechselwirkung 

die kinetische Energie des Elektrons ändern und frei-freie Strahlung 

erzeugen. 

Abbildung 5.4: Linien- Übergänge 

Die genaue Form einer Spektrallinie bezeichnet man als Linienprofil. Die wahre 

Linienkontur gibt die Eigenschaften der Sternatmosphäre wieder, das beobachtete 

Profil hingegen wird auch durch das Meßinstrument verbreitert. Die Gesamtabsorption 

innerhalb einer Linie, die im allgemeinen über deren Äquivalentbreite 

ausgedrückt wird, ist gegenüber Beobachtungseffekten weniger empfindlich. Die 

Äquivalentbreite ist die Breite einer absolut dunklen, rechteckigen Linie, die derselben 

Gesamtabsorption entspricht wie die der beobachteten Linie. In Abb. 5.6 

sind die Äquivalentbreiten einiger der für die verschiedenen Spektralklassen wichtigen 

Spektrallinien aufgetragen. 

Klassifikationskriterien 5.3 

Klassifikationskriterien sind die Stärken bestimmter Linien (z.B. die Wasserstofflinien 

der Balmerserie), die durch die Folge verschiedener Spektraltypen hindurch 

variieren, wie es das Schema unten zeigt. Für die eindeutige Zuordnung eines 

Sternspektrums reicht die Beurteilung der Balmerserie des Wasserstoffs jedoch 

nicht aus, da es B- und F-Sterne mit gleichstarken Wasserstofflinien gibt. Dazu 

zieht man u.a. die relative Stärke der H- und K-Linien des ionisierten Calciums 

heran, sowie die des G-Bandes (CH 2 - Moleküllinienserie). 

Die nun folgenden Typen sind in sich noch einmal dezimal unterteilt 

(z.B. B0-B9 etc.). 



Typ O: Bläuliche Sterne, Atmosphärentemperatur 20 000 − 30 000 K. Das Spektrum 

enthält aufgrund der hohen Temperatur Linien von mehrfach ionisierten 

Atomen wie He II, C III, N III, O III, Si V. He I ist erkennbar, die 

H I-Linien sind schwach. Mit abnehmender Temperatur nimmt die Intensität 

von He II ab, während die von He I zunimmt. 

Hilfreich zur genauen Klassifikation sind das Verhältnis von He II(λ4541) 

zu He I(λ4471) sowie die Stärken der Linien H γ (λ4340), Si IV (λ4089), C 

III (λ4068,λ4647,λ4651) 

Typ B: Bläulich-weiße Sterne, Atmosphärentemperatur etwa 15 000 K. Die He II- 

Linien sind verschwunden. Die He I-Linien sind am stärksten bei B2, werden 

dann schwächer und verschwinden bei B9. Die H I-Linien werden stärker, 

O II-, Si II- und Mg II-Linien sind sichtbar. Zur genauen Klassifikation helfen: 

B0-B2: Verhältnis Si III (λ4552)/Si IV (λ4089) 

B3-B4: Si II (λ4128-30)/He I (λ4121) 

B5-B8: Si II (λ4128-30)/He I (λ4144) 

B8-B9: Mg II (λ4481)/He I (λ4471) 

Typ A: Weiße Sterne, Atmosphärentemperatur etwa 9000 K. Die H I-Linien sind 

bei A0 sehr stark und bestimmen das gesamte Spektrum. Die K-Linie des 

Ca II erscheint ab A2, He I ist nicht länger sichtbar. Zur Feinunterscheidung: 

A0-A7: Mg II (λ4481)/Fe I (λ4385) 

A5-A7: Mg II (λ4481)/Fe I (λ4416) 

A3-F0: Ca I (λ4227)/Mg II(λ4481) und Fe I (λ4045)/He I(λ4471) 

Typ F: Gelblich-weiße Sterne, Atmosphärentemperatur etwa 7000 K. Die Stärke 

der H I-Linien nimmt ab, die der H- und K- Linien des Ca II nehmen zu. 

Metallinien wie Fe I, Fe II, Cr II und Ti II werden klar erkennbar. Feinunterscheidung 

durch: 

Fe II (λ4045)/H δ (λ4101), Mn I (λ4030-34)/Si II (λ4128-32), Ca I λ(4226)/H γ (λ4340), 

Ca I (λ4226)/Mg II (λ4481) 

Typ G: Gelbliche Sterne wie die Sonne, Atmosphärentemperatur etwa 5500 K. 

Die H I-Linien werden immer schwächer, die H- und K-Linien sind sehr 

stark, am stärksten bei G0. Zahlreiche Metallinien. Die G-Bande ist deutlich 

sichtbar. In Riesensternen sieht man CN-Linien. Feinunterscheidung 

durch: 

G0-G4: Fe I (λ4045)/H δ (λ4101), Fe I (λ4143)/H δ (λ4101), Fe I (λ4381)/H γ (λ4340), 

Fe I (λ4921)/H β (λ4861) 

ab G5: Ca I (λ4226)/H δ (λ4101), Cr I (λ4254)/Fe I (λ4250) 

Typ K: Orange-gelbliche Sterne, Atmosphärentemperatur etwa 4000 K. das Spek- 


5.4 Durchführung der Aufgabe 

trum wird von Metallinien bestimmt, die H I-Linien sind unwesentlich. Die 

Ca I-Linie ist deutlich erkennbar. Starke H- und K-Linien und G-Bande. 

TiO-Banden erscheinen ab K5. Feinunterscheidung durch: 

Cr I (λ4254)/Fe I (λ4260), Ti I (λ3999)/Fe I (λ4005), Fe I (λ4144)/H δ (λ4101), 

Ca I (λ4226)/Fe I (λ4250) 

Typ M: Rötliche Sterne, Atmosphärentemperatur etwa 3000 K. Die TiO-Banden 

werden stärker. Ca I ist sehr stark. Viele Linien neutraler Metalle. Das G- 

Band ist sichtbar, ebenso zahlreiche Moleküllinien. Zur Feinunterscheidung: 

Intensitäten von TiO-Banden bei λλ4953,5167,7054,7126 

ab M2: TiO-Banden bei λλ4584,4761,5448,6158 

ab M3: TiO-Banden bei λ4761 gesättigt, ab M4: CaOH-Band bei λ5500- 

5560 

Abbildung 5.5: Klassifikationsschema 

Durchführung der Aufgabe 5.4 

Ordnen Sie die Sternspektren mit Hilfe des groben Klassifikationsschemas, der differenzierteren 

Klassifikationskriterien und den Aufnahmen aus den beiden Spektralatlanten 

durch Vergleich einem Spektraltypen zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung, 

indem Sie das jeweilige Spektrum beschreiben! 

Vorsicht: Bei einer Wellenlänge können durchaus mehrere verschiedene Linien 

liegen! 



Einige der wichtigsten Linien 5.5 

Element Linie Wellenlänge λ/[Å] 

Wasserstoff Hβ 4861 

Hγ 4340 

Hδ 4101 

Hε 3970 

Helium HeI 5047 

5015 

4913 

4713 

4471 

HeII 4859 

4686 

4541 

Kalzium I 4226 

Kalzium II H 3968 

K 3933 

G-Band 4307 

Abbildung 5.6: Äquivalentbreiten für verschiedene Spektralklassen 


Entfernung und Alter offener Sternhaufen 

6 

Aufgabe: Bestimmung von Entfernung und Alter offener Sternhaufen aus den beobachteten 

Farben-Helligkeits- und Farben-Farben-Diagrammen (FHD, FFD). Dabei 

werden die Standardhauptreihen im FHD und FFD graphisch mit den beobachteten 

und bereits aufgetragenen Diagrammen von Sternhaufen verglichen. 

Aus den ermittelten Nullpunktsdifferenzen läßt sich auf die Entfernung, das 

Alter und die Verfärbung durch interstellare Materie schließen. 

Material: Je ein FHD und FFD von sechs offenen Sternhaufen, ein FHD eines Kugelsternhaufens, 

Tabellen der Standardhauptreihe im FHD und FFD, durchsichtiges 

Millimeterpapier, Taschenrechner 

Literatur: [1] Kap. IV, § 1; Kap. VIII, § 9 

[4] Kap. 4.4, 5.4 

[5] Kap. I, § 2; Kap. VI, § 3 

Einleitung 6.1 

Offene (= galaktische) Sternhaufen werden in großer Zahl in der Scheibenebene 

der Galaxis und naher Galaxien gefunden. Der wohl größte Wert für die Astronomie 

besteht in der Tatsache, daß die Sterne eines Sternhaufens eine Gruppe von 

gleichweit entfernten, gleichalten, jedoch unterschiedlich weit entwickelten Sternen 

darstellen. Gelingt es, das Alter von Sternhaufen zu bestimmen, so können 

ihre Hertzsprung-Russell Diagramme (HRD) als Test der Theorien der Sternentwicklung 

dienen. 

Galaktische Sternhaufen zeigen eine deutliche Konzentration zum galaktischen 

Äquator und stehen in anderen Galaxien wie M31 entlang der Spiralarme. Gelingt 

die Bestimmung der Distanz offener Haufen, so können sie zur Untersuchung der 

Spiralstruktur der Milchstraße dienen. 

Das Hertzsprung-Russell Diagramm 6.2 

Im Hertzsprung-Russell-Diagramm (HRD) wird die absolute Helligkeit von Sternen 

gegen ihre Spektralklasse aufgetragen. Äquivalent dazu ist ein Diagramm 

der Leuchtkraft der Sterne in Beziehung zu ihrer Oberflächentemperatur. Anhand 

des HRD läßt sich die Sternentwicklung gut betrachten. Die meisten Sterne 


6 Entfernung und Alter offener Sternhaufen 

Abbildung 6.1: Hertzsprung-Russell-Diagramm 

liegen hier auf einem Band, Hauptreihe genannt, das sich diagonal durch das 

Diagramm zieht. Die Sonne z.B. ist ein typischer Hauptreihenstern. Eine zweite 

auffällige Häufung rechts oben stellen die sehr großen kühlen Sterne dar, die Rote 

Riesen genannt werden. In der linken unteren Ecke des Diagramms gruppieren 

sich die kompakten Weißen Zwerge. 

6.2.1 

6.2.2 

Das Hauptreihenstadium 

Das Hauptreihenstadium ist der Entwicklungsstand, in dem das Wasserstoffbrennen 

die einzige Energiequelle des Sterns darstellt. Hier befindet sich der Stern in 

einem stabilen hydrostatischen Gleichgewicht und sein Aufbau ändert sich nur infolge 

der allmählichen Änderung seiner chemischen Zusammensetzung durch die 

Kernreaktionen, d.h. das Hauptreihenstadium ist die längste Phase in der Entwicklung 

eines Sterns. Für einen Stern mit Sonnenmasse dauert diese Phase etwa 

10 Milliarden Jahre. Massereichere Objekte auf der oberen Hauptreihe entwickeln 

sich schneller, da sie wesentlich mehr Energie abstrahlen. Die Lebensdauer auf der 

Hauptreihe für einen Stern mit etwa 15 Sonnenmassen beträgt nur 10 Millionen 

Jahre. Die massereichsten Objekte, die bis jetzt beobachtet wurden, haben etwa 

70 Sonnenmassen. Masseärmere Sterne auf der unteren Hauptreihe haben eine 

Lebensdauer bis zu 70 Milliarden Jahren. Objekte mit weniger als 0.08 Sonnenmassen 

(sog. Braune Zwerge) werden niemals heiß genug für eine Zündung des 

Wasserstoffbrennens. 

Das Riesenstadium 

Wenn sich der Wasserstoffvorrat im Zentrum seinem Ende nähert, beginnt der 

Stern von der Hauptreihe abzuwandern. Der Stern gelangt dann in einen Zu- 


6.3 Beobachtungsmethoden 

stand, in dem der Kern sich unter seiner Gravitation zusammenzieht und sich 

weiter aufheizt, so daß der restliche Wasserstoff in einer Schale um den Heliumkern 

zündet und die äußeren Bereiche des Sterns expandieren. Beim Übergang 

bewegt sich der Stern im HRD leicht aufwärts, seine Helligkeit nimmt zu und 

die Oberflächentemperatur sinkt. Die Dichte des Heliumkerns nimmt bei diesem 

Prozeß zu, was zu einer Expansion der Hülle des Sterns führt, d.h. der Stern bewegt 

sich im HRD fast horizontal nach rechts und wird zum Roten Riesen. Bei 

Einsetzen des Heliumbrennens erhöht sich die Temperatur sprunghaft, was zu 

einer Beschleunigung der Fusionsrate führt. Liegt ein massereicher Stern vor, so 

vollzieht sich das Heliumbrennen gleichmäßig, während bei massearmen Sternen 

sich das zunächst entartete Gas im Kern schließlich schlagartig ausdehnt, dabei 

entsteht ein Helium-Blitz, auch Heliumflash genannt, dessen Energie von den 

äußeren Schichten absorbiert wird. Mit diesem Heliumflash setzt hier dann das 

Heliumbrennen ein, das Zentrum des Sterns expandiert, die äußeren Schichten 

kontrahieren. Außerdem nimmt die Leuchtkraft des Sterns ab. 

Weiße Zwerge 6.2.3 

Nachdem das Helium zu Kohlenstoff verschmolzen ist, zieht sich der Kern erneut 

zusammen und heizt sich weiter auf. Im Gegensatz zu massereichen Sternen steigt 

die Zentraltemperatur bei massearmen Objekten nicht weit genug an, um das 

Kohlenstoffbrennen in Gang zu setzen. Das verbleibende Helium jedoch brennt in 

einer inneren Schale und der restliche Wassertstoff in einer äußeren Schale weiter. 

Eine solche Schalenkonfiguration ist instabil und kann dazu führen, daß die Hülle 

in den Raum z.B. als planetarischer Nebel abgestoßen wird. Der Stern bleibt dann 

als Weißer Zwerg zurück. 

Beobachtungsmethoden 6.3 

Die meisten Sternhaufen haben eine zu geringe scheinbare Helligkeit, als daß 

man mit Hilfe von Spektrographen brauchbare HRDs erarbeiten könnte. Wegen 

der erheblich größeren Reichweite photometrischer Methoden benutzt man deshalb 

meist die äquivalenten Farben-Helligkeits-Diagramme (FHD) Jeder Stern 

im Haufengebiet wird in mehreren Filterbändern (=Farben) beobachtet, nach 

Möglichkeit mit einem lichtelektrischen Photometer. Die verschiedenen Farbbereiche 

werden durch Filter-Empfängerkombinationen (Multiplier, Photoplatten) 

realisiert. Das gebräuchlichste ist das Dreifarben(UBV)-System von Johnson und 

Morgan. Die mit U, B und V bezeichneten photoelektrischen Größenklassen werden 

in drei breiten Wellenlängenbereichen (deshalb auch Breitbandsystem) gemessen, 

deren Zentralwellenlängen bei 

U ltraviolett 3650Å 

B lau 4400Å 

V isuell 5500Å(d.h. gelb-grün) 



liegen. Die angegebenen Filter messen weitgehend die Kontinuumsstrahlung der 

Sterne, die Farbe U mißt den Balmersprung der Wasserstofflinienkante mit. 

Im uvby-System, einem Vierfarben-System nach Strömgren werden schmalere 

Wellenlängenbereiche (daher Schmalbandsystem) benutzt (uvby = ultraviolett, 

violett, blau und gelb — von engl. yellow). 

Noch differenzierter ist das Stebbins-Whitford-Sechsfarben-System, bei dem mit 

sechs verschiedenen Farbfiltern erhaltene Helligkeiten (U,V,B,G,R,I = ultraviolett, 

violett, blau, grün, rot, infrarot) zusammengestellt werden. 

Nach der erfolgten Auswertung der Messungen muß berücksichtigt werden, daß 

nicht alle Sterne im Gebiet des offenen Haufens auch wirklich zum Haufen gehören; 

man muß mit auf den Haufen projizierten Vorder- und Hintergrundsternen rechnen, 

die es zu eliminieren gilt. Das geschieht am Besten durch eine astrometrische 

Bestimmung der Eigenbewegung der Sterne. 

6.3.1 

6.3.2 

Das Farben-Helligkeits-Diagramm 

Ein Farben-Helligkeits-Diagramm (FHD) ist eine dem HR-Diagramm gleichwertige 

Darstellung, in der für eine Gruppe von Sternen (wie hier zur Untersuchung 

von Sternhaufen) deren scheinbare Helligkeit gegen den Farbindex aufgetragen 

wird. 

Der Farbindex 

Unter dem Farbindex versteht man den Unterschied in den Helligkeiten eines 

Sterns, der in verschiedenen Wellenlängenbereichen eines elektromagnetischen 

Spektrums gemessen wird. Dieser dient als Maß für die Farbe bzw. Licht eines 

Sterns. 

Die verschiedenen Wellenlängenbereiche werden durch optische Filter (ultraviolett, 

blau und visuell) isoliert, und die Lichtmenge, die durch die Filter tritt, wird 

in Größenklassen m ausgedrückt. Der Farbindex ist dann definiert als die Differenz 

der Helligkeiten im kurzwelligen, d.h. im ultravioletten (U) und blauen (B) 

und im langwelligeren visuellen (V) Bereich: 

m B − m V =: B − V bzw. m U − m B =: U − B. 

Im Prinzip spiegelt der Farbindex die Atmosphärentemperatur der Sterne wider. 

Die blauesten Sterne (O-Sterne) sind heißer als 30.000 K, weiße A-Sterne haben 

eine Temperatur von etwa 10.000 K. Die rötesten Sterne (M-Sterne) sind mit ca. 

3000 K vergleichsweise kühl. Die noch kühleren Sterne emittieren im sichtbaren 

Bereich so wenig Licht, daß man sie am besten im Infraroten beobachtet. 

6.3.3 

Das Farben-Farben-Diagramm 

Hier wird der Farbindex aus ultraviolettem und blauem Licht (U −B) mit dem aus 

blauem und visuellem Licht (B − V ) miteinander verglichen bzw. gegeneinander 


6.4 Photometrische Entfernungsbestimmung 

aufgetragen. Die Lage des Sterns in diesem Diagramm gibt Aufschluß über seine 

• chemische Zusammensetzung 

• Temperatur und 

• interstellare Verfärbung. 

Die interstellare Verfärbung 6.3.4 

Der Farbindex des Sternlichts kann auf dem Weg durch den interstellaren Raum 

verändert werden: blaues Licht wird durch interstellare Materie (ISM) wie Staub 

und Gas gestreut bzw. absorbiert, während rotes Licht relativ ungehindert die 

ISM durchquert. Auf diese Weise scheint das Sternenlicht gerötet zu sein. Diese 

durch die interstellare Absorption verursachte Änderung des Farbindex, wird 

interstellare Extinktion E oder interstellare Verfärbung genannt. Die Verfärbung 

eines Sterns wird definiert durch 

E B−V = (B − V ) − (B − V ) 0 

= A B − A V (6.1) 

und entsprechend für E U−B . Dabei ist (B −V ) die gemessene Farbe und (B −V ) 0 

die wahre Eigenfarbe des Sterns Der Quotient aus der Absorption im visuellen A V 

und der selektiven Absorption E B−V kann in weiten Bereichen der Milchstraße 

als konstant angenommen werden: 

R V := 

A V 

E B−V 

= 3.2 ± 0.2 (6.2) 

In einigen Gebieten interstellarer Materie gilt dies jedoch nicht, der Wert von R V 

kann bis zu R V = 7 steigen. Der lineare Verfärbungsweg im FFD ist gegeben 

durch: 

E U−B = 0.72E B−V + 0.05E 2 B−V ≃ 0.72E B−V (6.3) 

Da E B−V im allgemeinen deutlich kleiner als 0 m .75 ist, kann im Rahmen lichtelektrischer 

Genauigkeit von ±0 m .01 auf das quadratische Glied verzichtet werden. 

Photometrische Entfernungsbestimmung 6.4 

Das FHD eines Sternhaufens unterscheidet sich von einem in absoluten Größen 

M V (absolute Helligkeit) und (B − V ) 0 geeichten FHD im Wesentlichen durch eine 

Nullpunktsdifferenz der Helligkeitsskala, dem sogenannten Entfernungsmodul 

V − M V . Unter Berücksichtigung der interstellaren Absorption ist der Entfernungsmodul 

mit der Entfernung r des Sterns verknüpft durch: 

V − M V − A V = 5 m log(r[pc]) − 5 m (6.4) 

Dies ist nichts anderes als der Energieerhaltungssatz (Gesetz der Abnahme der 

Helligkeit mit r −2 ) mit Berücksichtigung der interstellaren Absorption. 



6.5 

Altersbestimmung 

Die Theorie der Sternentwicklung hat Entwicklungswege im HRD bestimmt, die 

bei beginnender Erschöpfung des Wasserstoffvorrates im Zentrum eines Sterns 

sein Abwandern von der Hauptreihe postulieren. Der Zeitpunkt des Abwanderns 

von der Hauptreihe läßt sich auf Grund dieser Rechnungen in Abhängigkeit von 

M V angeben. Beobachtet man also im FHD Sterne, die gerade von der Hauptreihe 

abzuwandern beginnen – im sogenannten Abknickpunkt oder turn-off-point – so 

läßt sich das Alter dieser Sterne und somit das Alter des ganzen Haufens angeben. 

6.6 

Durchführung der Aufgaben 

1. Tragen Sie die Daten der Standardhauptreihe im FHD (Tabelle 6.3) und 

FFD (Tabelle 6.1 und 6.2) auf durchsichtigem Millimeterpapier im folgenden 

Maßstab auf: 

(∆(U − B) 0 = 1 m ˆ= 5cm, ∆(B − V ) 0 = 1 m ˆ= 5cm, ∆M V = 1 m ˆ= 2cm). 

2. Bestimmen Sie mit diesen Standardhauptreihen die Werte für 

a) E B−V , E U−B und A V , indem die Standardhauptreihe im jeweiligen 

FFD solange verschoben wird, bis sie mit der gemessenen Hauptreihe 

des Haufens zur Deckung kommt. Dabei ist durch den linearen 

Verfärbungsweg (Gl. 6.3) eine Vorzugsrichtung für die Verschiebung 

im FFD gegeben. Die Nullpunktsdifferenzen ergeben E B−V und E U−B 

und mit Gl.(6.2) auch A V . Warum ist für den Kugelhaufen M3 kein 

FFD gegeben? (Tip: Man beachte die galaktische Breite.) 

b) die Entfernung r. Schiebt man daher unter Berücksichtigung der oben 

ermittelten Verfärbung E B−V eine Standardhauptreihe auf das FHD 

des Haufens, so läßt sich aus der Nullpunktsdifferenz der y-Achse 

(=Entfernungsmodul) unter Berücksichtigung von A V die Entfernung 

r berechnen (siehe Gl. 6.4). 

c) das Alter der Haufen mit Hilfe des Abknickpunktes und der Tabelle 

6.4. Die Festlegung des Abknickpunktes erfolgt mittels der größten 

auf der Hauptreihe noch vertretenen Helligkeit M V und der kleinsten 

auf der Hauptreihe noch befindlichen Farbe (B −V ) 0 entsprechend der 

beigefügten Tabelle 6.3 und tragen Sie diese in die Ergebnistabelle ein. 

d) Freiwillig Bestimmen Sie die relativen Fehler der berechneten Entfernungen 

(s. Anhang)! 


6.7 Anhang 

Anhang 6.7 

Helligkeiten 6.7.1 

Die Helligkeit eines Sterns ist ein Maß für den Strahlungsstrom, also die auf eine 

Einheitsfläche pro Zeiteinheit auftreffende Energie. 

Die Einheit ist ein magnitudo (griech.: Größenklasse, Mehrzahl: magnitudines, 

Abkürzung: mag oder m), sie ist historisch bedingt, wie fast alles in der Astronomie: 

Seinerzeit haben die Griechen die Sterne nach dem logarithmischen Helligkeitsempfinden 

des Auges in Größenklassen eingeteilt. Dazu haben sie ein paar 

Sterne festgelegt und den Rest dann durch Vergleich abgeschätzt. Heutzutage 

orientiert man sich weiterhin an den alten Festlegungen, aber für die restlichen 

Sterne mißt man den Strahlungsstrom S im Verhältnis zu einem anderen Stern. 

Damit gilt dann für die Helligkeitsdifferenz zweier Sterne: 

m 1 − m 2 = −2, 5 m · log S 1 − 2, 5 m · log S 2 

= −2, 5 m · log S 1 

S 2 

(6.5) 

Der Faktor 2,5 kommt durch die Eichung zustande. Wichtig ist vor allem, daß 

die Größenklassen ” 

rückwärts“ zählen, d.h., ein hellerer Stern hat eine kleinere 

Größenklasse. Negative Werte sind ebenfalls zugelassen. 

Früher hatte man nur das Auge als ” 

Meßgerät“ zur Verfügung. Heute kann man in 

verschiedenen Frequenzbereichen messen, so daß es notwendig wird verschiedene 

Bezeichnungen einzuführen: 

visuelle Helligkeit m v : umfaßt den Spektralbereich des Lichts mit der spektralen 

Empfindlichkeit des Auges 

bolometrische Helligkeit m bol : umfaßt den gesamten Spektralbereich mit konstanter 

Empfindlichkeit und ist damit ein Maß für die Gesamtstrahlung des 

Sternes 

photographische Helligkeit m pg : umfaßt den Spektralbereich des Lichts mit der 

spektralen Empfindlichkeit der Photoplatte 

photovisuelle Helligkeit m pv : umfaßt den Spektralbereich des Lichts mit der 

spektralen Empfindlichkeit der Photoplatte, angestrebter Idealfall: m pv = 

m v 

Nach dem Abstandsgesetz (m ∼ r −2 ) ist die Helligkeit auch ein Maß für die 

Entfernung des Sternes. Um aber ein entfernungunabhängiges Maß für die ausgesandte 

Strahlung des Sternes zu haben, führt man noch die absolute Helligkeit 

M v ein, die angibt, welche Helligkeit der Stern in einer Entfernung von 10pc hätte. 

Der Eindeutigkeit wegen nennt man das, was wir bisher nur ” 

Helligkeit“ genannt 

haben, scheinbare Helligkeit. 



Bemerkungen zur Fehlerrechnung 6.7.2 

Sei die zu bestimmende Größe f eine (bekannte) Funktion der fehlerbehafteten 

Meßgrößen x i , (i = 1, . . . , n). Dann folgt nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz 

für den resultierenden Fehler des Wertes von f: 

⎧ 

( ) ⎫ n∑ ⎨ 2 

∂f 

⎬ 

∆f = √ 

(∆x 

⎩ 

i ) 2 

i=1 

∂x i ⎭ 

wobei die ∆x i die Fehler der Meßgrößen x i sind. 

Hier: Die Haufen-Entfernung r wird nach Gleichung (6.4) aus den Meßgrößen 

(V − M V ) und A V bestimmt, wobei A V nach Gleichung (6.2) als A V = R · E B−V 

gegeben ist. Der (absolute) Fehler der Entfernung r ist also: 

∆r = 

√ ( 

∂r 

∂(V − M V ) 

) 2 ( ) 2 ( 

(∆(V − M V )) 2 ∂r 

+ (∆(R)) 2 + 

∂(R) 

∂r 

∂(E B−V ) 

) 2 

(∆(E B−V )) 2 

woraus sich der (sinnvollerweise anzugebende) relative Fehler der Entfernungsbestimmung 

zu ∆r/r ergibt. 

Hinweis: es gilt 

10 x x·ln 10 

= e 

Spektraltyp B − V U − B 

O5 -0.32 -1.15 

O6 -0.32 -1.14 

O7 -0.32 -1.14 

O8 -0.31 -1.13 

O9 -0.31 -1.12 

O9.5 -0.30 -1.10 

B0 -0.30 -1.08 

B0.5 -0.28 -1.01 

B1 -0.26 -0.93 

B2 -0.24 -0.86 

B3 -0.20 -0.71 

B5 -0.16 -0.56 

B6 -0.14 -0.49 

B7 -0.12 -0.42 

B8 -0.09 -0.30 

B9 -0.06 -0.19 

B9.5 -0.03 -0.10 

A0 -0.00 -0.00 

Tabelle 6.1: Eigenfarben der Hauptreihensterne 


6.7 Anhang 

Spektraltyp B − V U − B 

B0 V -0.32 -1.13 

B1 V -0.28 -1.00 

B2 V -0.24 -0.86 

B3 V -0.20 -0.71 

B5 V -0.16 -0.56 

B7 V -0.13 -0.47 

B8 V -0.09 -0.29 

B9 V -0.05 -0.16 

A0 V 0.00 0.00 

A1 V +0.05 +0.05 

A3 V +0.09 +0.07 

A5 V +0.15 +0.09 

A7 V +0.19 +0.08 

F0 V +0.30 +0.02 

F2 V +0.37 +0.00 

F5 V +0.44 +0.00 

F6 V +0.47 -0.02 

F8 V +0.53 +0.02 

G0 V +0.60 +0.06 

G2 V +0.64 +0.16 

G5 V +0.68 +0.21 

G8 V +0.70 +0.24 

K0 V +0.82 +0.48 

K1 V +0.86 +0.54 

K3 V +1.01 +0.89 

K5 V +1.18 +1.12 

K7 V +1.37 +1.26 

M1 V +1.48 +1.21 

M3 V +1.49 +1.10 

M5 V +1.69 +1.24 

Tabelle 6.2: Eigenfarben der Hauptreihensterne 



B − V M V 

-0.25 -2.10 

-0.20 -1.10 

-0.15 -0.30 

-0.10 +0.50 

-0.05 +1.10 

0.00 +1.50 

+0.05 +1.74 

+0.10 +2.00 

+0.20 +2.45 

+0.30 +2.95 

+0.40 +3.56 

+0.50 +4.23 

+0.60 +4.79 

+0.70 +5.38 

+0.80 +5.88 

+0.90 +6.32 

+1.00 +6.78 

+1.10 +7.20 

+1.20 +7.66 

+1.30 +8.11 

Tabelle 6.3: Farben-Helligkeits-Diagramm der Standard-Hauptreihe. 

Log(Alter) Anzahl der (B − V ) 0 rms 

Intervall Haufen Streuung 

≤ 6.25 4 -0.32 0.04 

6.25 – 6.75 12 -0.27 0.05 

6.75 – 7.25 36 -0.24 0.05 

7.25 – 7.75 60 -0.19 0.06 

7.75 – 8.1 39 -0.13 0.06 

8.1 – 8.3 18 -0.08 0.05 

8.3 – 8.5 26 -0.02 0.06 

8.5 – 8.7 10 +0.02 0.10 

8.7 – 8.9 11 +0.12 0.06 

8.9 – 9.1 9 +0.20 0.12 

9.1 – 9.3 6 +0.31 0.08 

9.3 – 9.5 3 +0.38 0.05 

9.5 – 9.7 9 +0.42 0.09 

9.7 < 2 +0.58 0.03 

Tabelle 6.4: Abknickpunkte in den FHD offener Sternhaufen, (B−V ) 0 -Werte und 

zugehörige Altersangaben. 


Übungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik 61 

Haufen l ′′ [ ◦ ] b ′′ [ ◦ ] E B−V E U−B A V V − M V V − M V − A V r[pc] (B − V ) 0 Alter [a] 

NGC 188 122.8 +22.5 

NGC 457 a 126.6 -4.4 

NGC 2264 203.0 +2.2 

NGC 2516 273.9 -16.9 

M 45 166.6 -23.5 

M 3 b 42.2 +78.7 

a freiwillig 

b Kugelsternhaufen; vergleiche vor allem Alter und Entfernung 

Tabelle 6.5: Tabelle für die Werte der zu untersuchenden Objekte. 

6.7 Anhang

¨Ubungen zur Einführung in die Astronomie und Astrophysik

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