Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

Wir gehen davon aus, dass der dem Versicherungsvertrag zu Grunde liegende Fonds S t einer
geometrisch Brown’schen Bewegung mit konstanten Koeffizienten folgt:
dS
S
t
t
= rdt + σdZ
.
Hier bezeichnet Z einen an F angepassten Wiener-Prozess auf (Ω,F,Q), r den risikolosen Zins
und σ die Volatilität des Fondskurses. Mithilfe der Itô-Formel ergibt sich somit
2
⎪⎧
⎛ σ ⎞ ⎪⎫
S
t 1
S t exp⎨⎜r
⎟
+
=
− + z t ⎬;
z t ~ N ( 0, 1
⎪⎩
2
σ
). (1)
⎝ ⎠ ⎪⎭
Wir setzen ferner S 0 = 1 und B 0 = 1 und erhalten B t = e rt .
3.2 Modellierung des Versicherungsvertrags
Mit dem im Folgenden vorgestellten Modell kann jeder Versicherungsvertrag modelliert
werden, der keine, eine oder mehrere der vorgestellten GMDB-Varianten (Return of
Premium, Annual Ratchet, Annual Roll-Up) und keine, eine oder mehrere Varianten der drei
vorgestellten GMLB-Optionen (GMAB, GMIB, GMWB) besitzt. In unseren numerischen
Analysen betrachten wir jedoch ausschließlich Kontrakte, die höchstens eine GMDB-Variante
und höchstens eine GMLB-Option beinhalten.
Wir betrachten einen Versicherungsvertrag mit endlicher, ganzzahliger Laufzeit T, der bei
19
t = 0 gegen einen Einmalbeitrag P abgeschlossenen wird.
Den Wert des Fondsguthabens zum Zeitpunkt t bezeichnen wir mit A . t Wir gehen
vereinfachend davon aus, dass der Vertrag keine up-front Kosten beinhaltet. Daher ist
A 0 = P . Während der Laufzeit des Vertrags betrachten wir ferner nur diejenigen Kosten, die
für die Garantien relevant sind, nämlich die laufenden Kosten für die angebotenen Garantie-
Optionen und eine Stornogebühr, falls Entnahmen vorgenommen werden, die nicht im
Rahmen einer GMWB-Option garantiert sind (Teilkündigungen oder Storno). Die laufenden
Kosten ϕ für die Garantie-Optionen sind proportional zum Fondsguthaben, die Stornogebühr
s ist proportional zum entsprechenden entnommenen Betrag.
Zur Bewertung der Leistungen des Vertrags definieren wir zunächst zwei fiktive Konten: Mit
W t bezeichnen wir den Wert zum Zeitpunkt t des so genannten Entnahmekontos. Auf diesem
Konto werden gedanklich alle während der Vertragslaufzeit getätigten Entnahmen eingezahlt
und bis zum Zeitpunkt T mit dem risikolosen Zins r verzinst. Wir setzen W 0 = 0.
Analog bezeichnet D t den Wert zum Zeitpunkt t eines fiktiven Kontos mit Todesfallzahlungen.
Auf diesem Todesfallkonto wird gedanklich die eventuell anfallende Todesfallleistung
eingezahlt und ebenfalls bis T risikolos verzinst. Wir setzen D 0 = 0.
t
19 Flexible Abrufoptionen können in unserem Modell ebenfalls abgebildet und mit den vorgestellten numerischen
Verfahren bewertet werden. Wir verzichten hier jedoch darauf, um die Notation nicht unnötig zu komplizieren.
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