Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

Wir führen den oben beschriebenen Iterationsschritt T mal durch und erhalten so den Wert
des Vertrags zu jedem ganzzahligen Zeitpunkt auf jedem Gitterpunkt und insbesondere auch
den Wert des Vertrags V 0 bei t = 0 . Innerhalb jedes Schrittes ist dabei für jeden Gitterpunkt
das Intergral (11) mit numerischen Methoden zu approximieren. Die Vorgehensweise wird im
Folgenden erläutert.
4.2.3 Approximative Berechnung des Integrals
+
y T −k
Wir definieren für a ∈ IR +
und gegebene Zustandsvariablen die Funktion
~
F
=
T
+
−k
+ 1
( a , y T −k
)
+
+
( 1 − q ) sup V ( T − k + 1, f ( a , y
) + q V ( T − k + 1, f ( a , y )).
x 0 + T −k
E
T −k
+ 1∈
IR
∞
+
E
T −k
+ 1
T −k
x 0 + T −k
−1
T −k
(12)
Damit ist (11) äquivalent zu
( ) ( )
∞
∫
−∞
+ −r
~
+
+
V T − k , AT
−k
, y T −k
= e Φ(
u ) FT
−k
+ 1 λ(
u ) AT
−k
, y T −k
du für y T −k
∈Git
T −k
,
mit
⎧
1 2 ⎫
λ( u ) = exp⎨σ
⋅u
+ r − ϕ − σ ⎬ wie oben definiert.
⎩
2 ⎭
Zur approximativen Berechnung dieses Integrals auf der Menge der Gitterpunkte Git T −k
~
+
werten wir die Funktion F a , y für jeden Gitterpunkt y ∈Git
in der Variablen
+
T −k
+ 1
( T −k
) T −k
T −k
a auf einer diskreten Zerlegung der positiven reellen Zahlen aus und interpolieren zwischen
den Zerlegungspunkten linear.
Sei also ein Gitterpunkt
Maximalwert A
y
+
T −k
∈Git
T −k
vorgegeben. Des Weiteren gibt man sich einen
max > 0 vor und teilt das Intervall [ , ]
0 A durch die Zerlegung
Amax
α m : = m,
m ∈ { 0,1,2 ,..., M } in M Teilintervalle auf. Bezeichne nun
M
~
+
~
+
γ m = F T −k
+ 1
( α m , y T −k
). Dann kann für jedes a ∈ IR +
die Funktion F T −k
+ 1
( a , y T −k
) wie folgt
durch eine stückweise lineare Funktion approximiert werden:
~
F
T −k
+ 1
M −1
+
⎡ a − α m
⎤
( a , y T −k
) ≈ γ m +
( γ m + 1 − γ m ) ⋅Ι [ α , α )
⎢
m = 0⎣
⎡
+ ⎢γ
⎣
=
∑
( γ M − γ M −1
) ⋅ Ι [ A , ∞)
−1
∑ [ bm
,1 ⋅ a + bm
,0 ] ⋅Ι [ α , ) ( a)
[ b ,1 a b ,0 ] [ , )(
a),
m α +
m 1
M ⋅ + M ⋅ Ι
+
Amax
∞
M
m = 0
M −1
α
m + 1
a − α
+
α − α
M
− α
M −1
m
M −1
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
m
max
max
m + 1
( a)
( a)
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