Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

L
A
{ G ; A } max{ P A }
T max 10 10 = ;
= .
10
Diese lässt sich zerlegen in eine sichere Zahlung P und den Payoff einer Call-Option auf das
Underlying A mit Strike P , es gilt also
{ P ; A } = P + [ A − ] + .
= max
P
L T 10
10
Wir gehen für dieses einfache Beispiel davon aus, dass der Kunde den Vertrag während der
Laufzeit nicht kündigen kann und keine Entnahmen vornehmen kann. Damit gilt W 10 = 0 .
Ferner werden in diesem Beispiel keine Todesfallgarantien gewährt, bei Tod im t-ten Jahr
wird also lediglich das Fondsguthaben A t ausbezahlt. Der Wert des fiktiven Todesfallkontos
bei Ablauf unter der Annahme, dass der Tod im Jahr t eintritt, ist damit gegeben durch
( 10−t
)r
D = A t e .
10
Dann gilt für den Wert V
0
des Vertrags ohne Storno-Option (für P = 1 )
_ _
⎛ ⎞
V
0
⎜ξ
= 0⎟
=
⎝ ⎠
=
=
10
∑
t −1
t = 1
10
∑
t −1
t = 1
10
∑
t −1
t = 1
p
p
p
10ϕ
wobei ( S )
0 ,10 0 ;e
x
x
x
0
0
0
⋅q
⋅q
⋅q
x 0 + t −1
x 0 + t −1
x 0 + t −1
⋅e
⋅E
⋅e
−10r
Q
−tϕ
E
[
10
+
]
Q [ 1 + A10
+
−1
]
(10−t
) r
−10r
[ A e ] + p ⋅e
E P + [ A − P ]
−10r
(10−t
) r −tϕ
−10r
[ e S e ] + p ⋅e
E [ ]
+
10
Q
p
x
t
t
0
⋅
10
x
10
0
x
−10r
−10ϕ
10ϕ
( e + e C ( S ; e )),
C den Black-Scholes-Preis bei t = 0 einer Call-Option mit Laufzeit 10
Jahre auf das Underlying S mit Strike
10ϕ
e
bezeichnet.
Im allgemeinen Fall sind die Kontrakte jedoch nur mit numerischen Methoden zu bewerten,
die im nachfolgenden Abschnitt ausführlich erläutert werden.
4 Numerische Bewertung von Guaranteed Minimum Benefits
Im Folgenden stellen wir zwei Ansätze vor, die zur Bewertung der vorgestellten Guaranteed
Minimum Benefits benutzt werden können. Da auf Grund der Pfadabhängigkeit der Optionen
im Allgemeinen keine geschlossenen Formeln existieren, müssen numerische Methoden
verwendet werden. Der in Abschnitt 4.1 vorgestellte Monte-Carlo Ansatz liefert mit relativ
einfachen Mitteln schnelle und genaue Ergebnisse für deterministisches oder
probabilistisches Kundenverhalten, sowie für eine vorgegebene F t -messbare stochastische
Kundenstrategie. Der Wert eines Vertrages unter der Annahme, dass sich Kunden hinsichtlich
Storno und Entnahmen finanzrational verhalten (also das Supremum der Vertragswerte über
alle F t -messbaren stochastischen Kundenstrategien), lässt sich hingegen mit Monte-Carlo
Simulationen nicht oder nicht mit vertretbarem Rechenaufwand bestimmen. In diesen Fällen
verwenden wir einen so genannten Diskretisierungsansatz, der in Abschnitt 4.2 ausführlich
0
0;10
0
Q
- 21 -