Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

aus. Des Weiteren gibt es im Modell von Tanskanen und Lukkarinen (2004) keinerlei Kosten.
Wir modifizieren das Modell so, dass die Garantiegebühr ϕ und die Stornogebühr s
berücksichtigt werden können. Schließlich besteht eine Strategie in unserem Modell nicht nur
aus der Entscheidung, ob storniert wird oder nicht. Stattdessen sind in jeder Periode
innerhalb gewisser Grenzen beliebige Entnahmen möglich. Wir verallgemeinern den Ansatz
daher auch dahin gehend, dass die optimale Strategie aus
Entnahmestrategien ausgewählt wird.
einer Vielzahl von
Wir beschreiben in diesem Abschnitt zuerst eine quasi analytische Integrallösung zur
Bewertung von Versicherungsverträgen mit Guaranteed Minimum Benefits und stellen dann
unseren Ansatz vor, wie man die entsprechenden Integrale näherungsweise über einen
Diskretisierungsalgorithmus lösen kann.
Wir beschränken uns bei der folgenden Darstellung auf den Fall eines finanzrationalen
Kunden. Für deterministisches oder probabilistisches Kundenverhalten sowie für eine
vorgegebene stochastische Strategie ist die Vorgehensweise, insbesondere die Bestimmung
der Funktion F ~ aus Abschnitt 4.2.3, analog.
4.2.1 Eine quasi-analytische Lösung
Der Wert V t eines Vertrags zum Zeitpunkt t hängt vom Wert des Zustandsvektors
A I D W E
y t = ( At
, Wt
, Dt
, G t , G t , G t , G t , G t ) zum Zeitpunkt t ab. Da sich die Zustandsvariablen
mit Ausnahme von A t zwischen den Jahrestagen deterministisch entwickeln, ist der
Wertprozess eine Funktion der Zeit t, des aktuellen Kontostands und des Zustandsvektors
zum letzten Jahrestag
⎣⎦ t
+
Zu den diskreten Zeitpunkten
+
( )
, also V t = V t , At
; y
⎣t
⎦ .
t = 1,2,...,T
A t
unterscheiden wir zwischen dem Wert unmittelbar
−
− +
( y
t
)
−1
+ +
unmittelbar nach Auszahlung von Todesfallleistungen und Entnahmen V V ( t A , y )
vor Auszahlung von Todesfallleistungen und Entnahmen Vt = V t , At
; und dem Wert
Wenn die versicherte Person im Jahr ( , t + 1]
+ t = t t
, .
t nicht verstorben ist, legen die Regeln aus
Abschnitt 3.3 bei vorgegebenem Entnahmebetrag und bei Kenntnis von die
E t +1
+
Entwicklung der Zustandsvariablen beim Übergang von t nach (t + 1)
eindeutig fest. Die
Funktion, die diesen Übergang abbildet, bezeichnen wir mit
− + + +
Analog bezeichnet f ( A y ) ( A y )
− 1 t + 1 , = + 1 ,
t t t + 1
f
+
−
A t +1
− + + +
( A , y ) ( A y )
E + =
+ 1 + 1 ,
t 1 t t t t + 1
, die Funktion, die die Entwicklung der
Zustandsvariablen für den Fall abbildet, dass die versicherte Person im Jahr ( t , t + 1]
verstorben ist.
Aus üblichen Arbitrage-Argumenten folgt, dass die Wertfunktion V t innerhalb eines Jahres
eine stetige Funktion in t ist. Durch Anwendung der Itô-Formel kann man ferner zeigen, dass
.
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