Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

Der Wert eines Vertrages unter probabilistischem Kundenverhalten lässt noch eine weitere
Interpretation zu: Wenn ein Versicherungsunternehmen aus Erfahrungswerten Prognosen für
die zukünftigen Häufigkeiten von Storni und Entnahmen im Bestand abgeleitet hat, und die
entsprechenden relativen Häufigkeiten jedem Vertrag als Wahrscheinlichkeiten zuordnet, so
ist die Summe der entsprechenden probabilistischen Vertragswerte gerade der Wert des
Vertragsbestands aus Sicht des Versicherers unter der Annahme, dass die Prognose korrekt
ist. Dieser Wert entspricht den Kosten für einen perfekten Hedge der entsprechenden
Verpflichtungen, wenn sich die Versicherten verhalten wie erwartet. Das Risiko, dass das
tatsächliche künftige Kundenverhalten von den Prognosen abweicht, ist in diesem Fall jedoch
nicht abgesichert, vgl. Fußnote 14.
3.4.3 Stochastisches Kundenverhalten
Die Annahme von deterministischem oder probabilistischem Kundenverhalten, geht davon
aus, dass das Storno- und Entnahmeverhalten der Kunden nicht von der Entwicklung des
Kapitalmarkts und somit des Vertrags abhängt. Eine stochastische Kundenstrategie ist
hingegen eine Strategie, bei der der Kunde abhängig von der zum Zeitpunkt t vorhandenen
Information festlegt, ob und gegebenenfalls welchen Betrag er entnimmt bzw. ob er
storniert.
Eine zulässige stochastische Kundenstrategie ist ein F t -messbarer Prozess (X), der abhängig
−
X t , y t = Ε , t = 1,2,...,T
.
vom Zustand des Systems den Entnahmebetrag festlegt: ( ) t
Für jede stochastische Kundenstrategie (X) liegen unter der Annahme, dass der Tod im Jahr
t ∈ { 1 ,2,...,ω − x } eintritt, die Werte L T ( t ;(X) ), W T ( t ;(X) ) und D T ( t ;(X)
) für jede
Entwicklung des Prozesses S eindeutig fest. Der Wert eines Vertrags ergibt sich somit zu
V
ω
∑ − x
0 t − 1 x + −
+
0 x 0 t 1
Q T
T
T ,
t = 0
0
−rT
( ) = p ⋅q
⋅e
E [ L ( t ,(X)
) + W ( t ,(X)
) D ( t (X) )]
(X) . (5)
Sei Ξ die Menge aller zulässigen stochastischen Kundenstrategien. Der Wert V 0
eines
Vertrags unter der Annahme finanzrationalen Kundenverhaltens bezüglich Storno und
Entnahmen ist dann gegeben durch
V 0 = supV ((X) ). (6)
(X) ∈Ξ
3.5 Ein Beispiel
0
Zur Veranschaulichung der Vorgehensweise bei der Bewertung eines Vertrags betrachten wir
einen einfachen Vertrag mit einer GMAB-Option.
Dem Kunden wird zu einem festgelegten Zeitpunkt T = 10 ein Mindest-Portfoliowert in Höhe
der gezahlten Prämie garantiert, es gilt also G A 10 = P . Damit ist die Erlebensfallleistung des
Kunden bei Überleben der 10-jährigen Versicherungsdauer gegeben durch
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