Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

eschrieben wird. Der Diskretisierungsansatz basiert auf relativ komplexen mathematischen
Methoden. An der zugehörigen Theorie nicht interessierte Leser können sich direkt den
Ergebnissen in Abschnitt 5 zuwenden.
4.1 Monte-Carlo Simulation
Sei eine F t -messbare Kundenstrategie 27
(X) :
IR
8
× IR +
→ IR gegeben. Die Rekursionsformel
S
2
⎪⎧
⎪⎫
−ϕ +
⎛ σ ⎞
⋅e
= At
⋅ exp⎨⎜r
⎟
− ϕ − + z t 1⎬;
z t ~ ( 0, 1
⎪⎩
2
)
⎝ ⎠ ⎪⎭
− + t + 1
t + 1 = At
σ + N
St
A
iid.
erlaubt eine Generierung von zufälligen Realisierungen (Pfaden) a des Prozesses A mithilfe
eines Zufallsgenerators, der unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen erzeugt
(Monte-Carlo Simulation). Für jeden Vertrag mit Guaranteed Minimum Benefits ergibt sich
mit den in Kapitel 3 beschriebenen Regeln für jeden simulierten Pfad
Kundenportfolios und für jeden möglichen Todeszeitpunkt t die Entwicklung aller Konten und
Prozesse. Damit liegt der Wert zum Zeitpunkt T aller Leistungen des Vertrags
( j )
28
l
eindeutig fest. Der Wert zum Zeitpunkt t = 0 aller
( j )
( j )
( t ,(X) ) + w ( t ,(X)
) d ( t ,(X)
)
T T
+
Leistungen ist in diesem Pfad gegeben durch
V
0
v
T
ω x 0
−rT
( j )
( j )
( j )
( ) = e p ⋅q
[ l ( t ,(X)
) + w ( t ,(X)
) + d ( t (X) )]
∑ −
( j )
0 t −1
x 0 x 0 + t −1
T
T
T
,
t = 1
( i )
( ) = ∑v
0
(
(X) .
J
1
(X) (X) ) ist dann der Monte-Carlo Schätzer für den Wert des Vertrages,
J
j = 1
wobei J die Anzahl der Simulationen bezeichnet. 29
Auf Grund der vielfältigen Entscheidungsmöglichkeiten des Kunden zu jedem der
Jahresstichtage ist die Monte-Carlo Simulation jedoch nicht effizient genug, um einen Vertrag
unter der Annahme finanzrationalen Kundenverhaltens zu bewerten.
4.2 Ein mehrdimensionaler Diskretisierungsansatz
Tanskanen und Lukkarinen (2004) stellen einen alternativen Bewertungsansatz vor. Ihre
Lösung, die auf einer Diskretisierung des Bewertungsproblems basiert, ist zur Bewertung von
Verträgen mit einer Storno-Option besonders geeignet. Wir erweitern und verallgemeinern
ihren Ansatz in mehrerer Hinsicht: Zum einen lassen wir einen mehrdimensionalen
Zustandraum zu, und weiten daher die Interpolationsschemata auf mehrere Dimensionen
( j )
a
des
27 _
Eine F 0 -messbare, also deterministische Strategie ξ ist ein Spezialfall hiervon.
28 Analog zur Bezeichnung a t für eine Realisation von A , t bezeichnen l T , w T und d T Realisationen von L T , W T und
D T .
29 Für weiterführende Informationen zu Monte-Carlo Simulationen, vergleiche z.B. Glasserman (2003).
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