Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

Auf Grund der Markov-Eigenschaft der zu Grunde liegenden Prozesse, ist die zum Zeitpunkt t
vorhandene Information durch die so genannten Zustandsvariablen At
,
D
G t
W
G t
E
G t
W , , , ,
, und vollständig charakterisiert. Zur Vereinfachung der Notation kürzen wir den
so genannten Zustandsvektor zum Zeitpunkt t im Folgenden mit
t
A I D W E
( A , W , D , G , G , G , G G )
y = , ab.
t
t
t
t
t
t
t
t
3.3 Modellierung des Verlaufs eines Versicherungsvertrags
Während der Laufzeit eines Vertrags können folgende Ereignisse eintreten: garantierte
Entnahmen im Rahmen der GMWB-Option, sonstige Entnahmen aus dem Guthaben (also
Teilkündigungen), Storno oder Tod. Wir gehen vereinfachend davon aus, dass alle derartigen
Ereignisse – insbesondere auch Tod – nur zum Ende eines Policenjahres erfolgen können.
Wir unterscheiden daher für ganzzahliges t = 1,2,...,
T bei allen Zustandsvariablen zwischen
−
+
() ⋅ t und ( ⋅)
t , was den entsprechenden Wert vor bzw. nach den beschriebenen Ereignissen
symbolisiert.
Die Startwerte der Prozesse bei t = 0 wurden bereits in Abschnitt 3.2 festgelegt. Wir
beschreiben nun den Verlauf der Prozesse in zwei Schritten: Zunächst für t = 0,1,2,...,
T −1
die Veränderung der Prozesse während eines Policenjahres, also den Übergang von t + nach
(t+1) - und im Anschluss die Veränderung der Prozesse zu einem Jahrestag der Police also
den Übergang von (t+1) - nach (t+1) + . Hierbei gehen insbesondere die Entscheidungen des
Kunden über Entnahmen und Storno ein. Abschließend betrachten wir die Ablaufleistungen
des Vertrags.
3.3.1 Übergang von t + nach (t+1) -
Der Fondskurs S t entwickelt sich wie in Abschnitt 3.1 beschrieben. Für das Fondsguthaben
ergibt sich somit unter Berücksichtigung der (stetig erhobenen) Garantiekosten ϕ
S −ϕ
A 1 = e . (2)
− + t + 1
t + At
⋅
St
t
D t
A
G t
I
G t
Darüber hinaus werden die Konten W t und D t unterjährig mit dem risikolosen Zins r verzinst:
−
t + =
+
t
r
−
t + =
+
t
W 1 W e bzw. D 1 D e .
r
D
G t
Die Prozesse zur Modellierung der Garantien , und entwickeln sich abhängig von
20
der Art der Garantie: Falls die jeweilige garantierte Leistung der Einmalprämie entspricht
D / A / I − D / A / I +
oder falls die entsprechende Option nicht im Vertrag beinhaltet ist, gilt G t
G .
Falls die garantierte Leistung eine Roll-Up Benefit Base mit Roll-Up Rate i ist, so gilt
A
G t
I
G T
+ 1
=
t
20 Unter „garantierte Leistung“ verstehen wir die garantierte Todesfallleistung bei einer GMDB-Option, die
garantierte Erlebensfallleistung bei einer GMAB-Option bzw. das garantiert zur Verrentung zur Verfügung
stehende Kapital bei einer GMIB-Option.
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