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3.3.3 Leistungen bei T Wenn weder eine GMAB-Option noch eine GMIB-Option vereinbart wurde, beträgt die + Leistung bei Erleben des Vertragsablaufs gerade L T A . Liegt hingegen eine GMAB-Option vor und erlebt die versicherte Person den Ablauftermin, so ergibt sich die Ablaufleistung zu A + A+ L = max A ; G . T { } T T Bei Verträgen mit GMIB-Option ist die Situation etwas komplizierter. Der Versicherte kann entweder sein Fondsguthaben A T als Einmalzahlung entnehmen oder zu dann aktuellen Konditionen verrenten. In beiden Fällen ist der Wert der Leistung gerade A T . Alternativ kann er das garantierte Verrentungskapital zu den bei Vertragsabschluss garantierten Konditionen verrenten. Bezeichnet man mit ä und ä die Rentenbarwerte, die zu den bei T aktuellen akt gar bzw. zu den bei Vertragsabschluss garantierten Rentenkonditionen gehören, so ist der Wert I + ä akt dieser Leistung gerade G T ⋅ . Ein finanzrationaler Kunde würde die garantierte Rente ä genau dann wählen, wenn G gar I + T ⎪⎧ ⎪⎫ I + I + ä akt Kunden L T = max ⎨AT ; GT ⋅ ⎬ . ⎪⎩ ä gar ⎪⎭ ä ⋅ ä akt gar > + A T = T . Somit ergibt sich für einen finanzrationalen Liegt sowohl eine GMAB als auch eine GMIB-Option vor, so gilt für einen finanzrationalen A I Kunden L max{ L ; L } T = . 3.4 Wert eines Vertrags T T Im Folgenden gehen wir stets davon aus, dass Sterblichkeit unabhängig von der Entwicklung des <strong>Finanz</strong>marktes ist. Sei das Eintrittsalter der versicherten Person und bezeichne die Wahrscheinlichkeit eines x 0 t p x 0 x 0 -jährigen, noch mindestens t Jahre zu überleben, und q x 0 + t 25 die Wahrscheinlichkeit eines ( x 0 + t ) -jährigen, innerhalb des nächsten Jahres zu sterben. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Tod zum Zeitpunkt t +1 eintritt, beträgt somit ⋅ q . t p x x + t Das rechnerische Höchstalter, also das kleinste Alter, das mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht überlebt werden kann, bezeichnen wir wie üblich mit ω. 3.4.1 Deterministisches Kundenverhalten In einem ersten Schritt gehen wir davon aus, dass vom Kunden beeinflussbare Ereignisse (Entnahmen und Storno) deterministisch sind. Als deterministische Strategie bezeichnen wir 0 0 25 d.h. in unserem Modell genau zum Ende des nächsten Jahres - 18 -
_ einen Vektor ( ) ( ) T T IR ∞ _ 26 ξ = ξ1;...; ξ ∈ + . Wir nennen ξ auch Entnahmevektor, wobei ξ t den Betrag angibt, der zum Ende des t-ten Jahres entnommen werden soll, sofern der Versicherte noch lebt und eine entsprechende Entnahme zulässig ist. Wenn eine Entnahme von ξ t nicht zulässig ist, so wird der größtmögliche zulässige Betrag E t < ξt entnommen. Insbesondere falls keine GMWB-Option im Vertrag enthalten ist, wird somit der Betrag − E min ξ ; A entnommen. Storno zum Zeitpunkt t wird durch ξ = ∞ dargestellt. { } t = t t ( ) T Mit Ψ = Ψ T IR ∞ 1 × ... × Ψ ⊂ + bezeichnen wir die Menge aller zulässigen deterministischen Strategien. Jede deterministische Strategie ist insbesondere F0 -messbar. Wenn ein Versicherungsvertrag und eine deterministische Strategie vorgegeben sind, so t ∈ 1,2,..., ω − x eintritt, die Werte liegen unter der Annahme, dass der Tod im Jahr { } _ _ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ _ ⎞ L T ⎜t ;ξ ⎟ , W T ⎜t ;ξ ⎟ und D T ⎜t ;ξ ⎟ für jede Entwicklung des Fondskurses S eindeutig fest. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Der Wert des Vertrages bei t = 0 inklusive aller Optionen ergibt sich somit zu t 0 ⎛ _ ⎞ − V 0 ⎜ξ ⎟ = e ⎝ ⎠ = e + ω−x 0 rT ∑ t = 1 0 t −1 T −rT ∑ t −1 t = 1 T p x ⋅E Q p p x x 0 0 ⋅q ⋅q x 0 + t −1 x 0 + t −1 ⎡ _ _ _ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ E Q ⎢LT ⎜t ; ξ ⎟ + WT ⎜t ; ξ ⎟ + DT ⎜t ; ξ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎡ ⎛ _ ⎞ ⎛ _ ⎞ ⎛ _ ⎞⎤ E Q ⎢LT ⎜t ; ξ ⎟ + WT ⎜t ; ξ ⎟ + DT ⎜t ; ξ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎡ ⎛ _ _ _ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎢LT ⎜T + 1; ξ ⎟ + WT ⎜T + 1; ξ ⎟ + DT ⎜T + 1; ξ ⎟⎥. ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ (3) 3.4.2 Probabilistisches Kundenverhalten Unter probabilistischem Kundenverhalten verstehen wir den Fall, dass der Kunde gewisse vorgegebene Strategien mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ausübt. Wenn die ( j ) ( j ) ( ) ( ) T deterministischen Strategien ξ = ξ ;...;ξ ∈ , ( _ j ) 1 T IR ∞ + n j = 1,2,..., n und die ( j ) dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten gegeben sind ( p = 1 ), ergibt sich der Wert des Vertrags als ( j ) p ξ ∑ j = 1 ξ V 0 n ⎛ _ ( j ) ⎞ ( ) = ∑ p j ⎜ ⎟ ξ V 0 ξ . (4) ⎜ ⎟ j = 1 ⎝ ⎠ 26 Mit IR + bezeichnen wir die Menge aller nicht negativen reellen Zahlen (also inklusive der Null), ferner ist ∞ IR + IR ∪ { ∞}. = + - 19 -
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