Konzept / Idee Artikel GMxB - Institut für Finanz

_
einen Vektor ( ) ( ) T
T IR ∞ _
26
ξ = ξ1;...;
ξ ∈ + . Wir nennen ξ auch Entnahmevektor, wobei
ξ t den
Betrag angibt, der zum Ende des t-ten Jahres entnommen werden soll, sofern der
Versicherte noch lebt und eine entsprechende Entnahme zulässig ist. Wenn eine Entnahme
von ξ t nicht zulässig ist, so wird der größtmögliche zulässige Betrag E t < ξt
entnommen.
Insbesondere falls keine GMWB-Option im Vertrag enthalten ist, wird somit der Betrag
−
E min ξ ; A entnommen. Storno zum Zeitpunkt t wird durch ξ = ∞ dargestellt.
{ }
t = t t
( ) T
Mit Ψ = Ψ
T IR ∞ 1 × ... × Ψ ⊂ + bezeichnen wir die Menge aller zulässigen deterministischen
Strategien. Jede deterministische Strategie ist insbesondere F0 -messbar.
Wenn ein Versicherungsvertrag und eine deterministische Strategie vorgegeben sind, so
t ∈ 1,2,...,
ω − x eintritt, die Werte
liegen unter der Annahme, dass der Tod im Jahr { }
_
_
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
_
⎞
L T ⎜t
;ξ ⎟ , W T ⎜t
;ξ ⎟ und D T ⎜t
;ξ
⎟ für jede Entwicklung des Fondskurses S eindeutig fest.
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Der Wert des Vertrages bei t = 0 inklusive aller Optionen ergibt sich somit zu
t
0
⎛
_
⎞ −
V 0 ⎜ξ
⎟ = e
⎝ ⎠
= e
+
ω−x
0
rT
∑
t = 1
0
t −1
T
−rT
∑ t −1
t = 1
T
p
x
⋅E
Q
p
p
x
x
0
0
⋅q
⋅q
x 0 + t −1
x 0 + t −1
⎡ _
_
_
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
E Q ⎢LT
⎜t
; ξ ⎟ + WT
⎜t
; ξ ⎟ + DT
⎜t
; ξ ⎟⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
⎡ ⎛
_
⎞ ⎛
_
⎞ ⎛
_
⎞⎤
E Q ⎢LT
⎜t
; ξ ⎟ + WT
⎜t
; ξ ⎟ + DT
⎜t
; ξ ⎟⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
⎡ ⎛
_
_
_
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
⎢LT
⎜T
+ 1; ξ ⎟ + WT
⎜T
+ 1; ξ ⎟ + DT
⎜T
+ 1; ξ ⎟⎥.
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
(3)
3.4.2 Probabilistisches Kundenverhalten
Unter probabilistischem Kundenverhalten verstehen wir den Fall, dass der Kunde gewisse
vorgegebene Strategien mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ausübt. Wenn die
( j ) ( j )
( ) ( ) T
deterministischen Strategien ξ = ξ ;...;ξ ∈ ,
( _
j )
1
T
IR ∞ +
n
j = 1,2,...,
n und die
( j )
dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten gegeben sind ( p = 1 ), ergibt sich der Wert
des Vertrags als
( j )
p ξ
∑
j = 1
ξ
V
0
n ⎛ _ ( j )
⎞
( )
= ∑ p
j ⎜ ⎟
ξ V 0 ξ . (4)
⎜ ⎟
j = 1 ⎝ ⎠
26 Mit IR + bezeichnen wir die Menge aller nicht negativen reellen Zahlen (also inklusive der Null), ferner ist
∞
IR + IR ∪ { ∞}.
= +
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