alternating gradient - abbremsung von benzonitril - CFEL at DESY

20 Theoretische Grundlagen
2.3.3 Trajektorien im Abbremser
Für die Charakterisierung eines Alternating Gradient-Abbremsers ist es unabdingbar,
die Bewegung von Molekülen durch die Apparatur zu untersuchen und stabile Be-
reiche im Phasenraum zu beschreiben. Das Ziel ist es, Ausdrücke für die Akzeptanz
und die Transmission einer vorgegebenen Geometrie, bezogen auf alle sechs Frei-
heitsgrade�r und �v, zu entwickeln. Zu diesem Zweck wird zunächst vereinfacht an-
genommen, dass die transversale und die longitudinale Bewegungsgleichung ent-
koppelt sind. Anschließend wird die existierende Kopplung als Korrektur betrach-
tet.
Hier soll nur die transversale Bewegung eines Moleküls in x-Richtung untersucht
werden, da die Überlegungen analog für die y-Komponente gelten. Das Molekül
bewege sich entlang der z-Achse mit der konstanten Geschwindigkeit vz. Unter der
Annahme einer linearen Rückstellkraft ergibt sich dann innerhalb einer Linse die
Bewegungsgleichung
∂x
∂z ± κ2x = 0 (2.20)
mit den allgemein bekannten Lösungen des harmonischen Oszillators für den fo-
kussierenden Fall (+) beziehungsweise mit Hyperbelfunktionen als Lösung für de-
fokussierende Linsen (−). Die Kreisfrequenz Ω der Lösung ist hierbei gegeben durch
Ω 2 = kx/m = 2µ effE0a3/(mr 2 0 a1), und κ 2 = kx/(mv 2 x) ist die Federkonstante in
Energieeinheiten. Es erweist sich als zweckmäßig, den Effekt der elektrischen Linse
mit Hilfe von Abbildungsmatrizen darzustellen, wie es im Bereich der linearen Op-
tik und der Teilchenbeschleunigerphysik allgemein üblich ist. Diese lassen sich aus
den Lösungen von Gl. (2.20) konstruieren und sind definiert über:
� �
� �
x(z)
x(z0)
= M(z0|z)
vx(z)
vx(z0)
. (2.21)
Verschiedene z-Intervalle lassen sich durch Matrixmultiplikationen ausdrücken:
M(z2|z0) = M(z2|z1)M(z1|z0). Ferner definiert man
F := M(L|z 0,fok), D := M(L|z 0,defok), O := M(S|z 0,frei) (2.22)
als Abbildungsmatrizen für fokussierende und defokussierende Linsen der Länge
L beziehungsweise feldfreie Strecken der Länge S. Die explizite Form dieser Ma-
trizen findet man bei Bethlem et al. [63]. Ein AG-Abbremser lässt sich dann allge-
mein durch die Matrix M = ((FO) n (DO) n ) N mit n, N ∈ N beschreiben. Die
Gesamtlänge skaliert mit N, während n, zusammen mit der Länge S + L und ab-
hängig von der Geschwindigkeit vz der Moleküle, ein Maß für die Zeit ist, nach der